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1、1/27,动力学普遍定理引言,关于上次内容的问题：,1. 动力学的抽象模型是什么？,2. 什么是质点运动微分方程？与牛二定律有何关系？适用范围是什么？,3. 叙述你知道的动力学普遍定理（三大定理）。可解决任何动力学问题吗？,物理中主要针对质点和转动刚体而言，而众多的问题是具有任意运动的物体系的动力学问题，特别是含平面运动物体的物体系问题。,仅对质点,引入新概念，建立新理论不仅适于质点，还适于质点系：,动能定理 动能 功,动量定理 动量 冲量（力）,动量矩定理 动量矩 冲量矩（力矩）,注：这种推导仅为方便和使理论系统化，力学史上并非如此顺序。事实上，三大定理是单独发现的，且早于牛顿第二定律；仅适
2、于惯性参考系。,2/27,第九章 动能定理,动能定理： 动能2 动能1 功,问题：动能与功如何求？对任意质点系和力（矩、偶）,9-1 动能,动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。,一、质点,二、质点系,三、平动刚体,四、定轴转动刚体,3/27,五、柯尼希定理“动能的合成”,对任意质点系，选动系为随质心平动的坐标系，应用速度合成定理，易证：,相对动系（质心）之相对动能,质系动能,随动系（质心）平动动能,+,“绝对动能” “牵连动能” “相对动能”,柯尼希定理 推导,4/27,六、平面运动刚体,由上述定理，立即得：,质系动能 随质心平动动能 相对质心之转动动能,可证，对瞬心C：,以上为求平面运动
3、刚体动能的两种方法。,5/27,9-2 功,功：力（力偶）在位移上的累积效应。,一、功的一般表达式,元功：,功：,直角坐标系下：,注： 仅仅表示元功，既非变分，也不一定为全微分,二、几种常见力的功,三、力系的功,四、质点系内力的功,五、约束力的功,6/27,二、几种常见力的功,1. 常力：,2. 重力：,纯滚动轮子上缠绕的绳子拉力做功（运动合成）,7/27,沿曲面纯滚动时,纯滚动轮子上缠绕的绳子拉力做功（运动合成）,8/27,3. 弹性力：,弹簧初、末时变形。,4. 万有引力：,其中c为引力常数， 为二星体质心间初末时距离。,5. 摩擦力的功：,讨论：静滑动摩擦力作功吗？举例。,注：对扭转弹簧
4、，亦如此。,动滑动摩擦力作功吗？若是，恒为负吗？举例。,物体做纯滚动时，静摩擦力不做功,9/27,6. 力偶与力矩的功：,力偶：,力矩：,注：力偶作用的刚体可作任意运动。,注：仅限于定轴转动刚体。,三、力系的功,功是标量，故,M,四、质点系内力的功,提问：内力作功吗？,当为刚体（或几何不变体系）时，内力的功为零。否则不为零，如系统中有弹簧时。,10/27,五、约束力的功,提问：约束力作功吗？,在一定意义下，约束力不作功，这给我们分析解决问题带来很大方便。,柔性体约束,光滑面约束,铰链约束,中间铰链,链杆约束,固定端约束,理想约束,11/27,不可伸长的绳索，其约束力元功之和为零,绳索始终紧绷，
5、从B点到切点（记为C） 可视为刚体，做平面一般运动 , 依基点法速度公式,由速度投影定理,不可伸长条件,12/27,9-3 动能定理,一、质点的动能定理,牛二定律,二、质点系的动能定理,将质系受力按主动力和约束力分，当为理想约束时， ，对上面二式求和，有,微分形式：,积分形式：,问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？,主动力、位移、速度、加速度,解题步骤：,(一)取研究对象（一般为整体，且不去约束，即不取分离体）；,(二)画受力图（只画主动力，理想约束不做功）；,(三)列解方程。,13/27,例9-1 典型例题，详讲。,图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角
6、块固定不动，倾角为，重物重量P。求滚子质心C的加速度aC 。,分析： 考虑整体。动能定理有两种形式：积分式和微分式。 积分式显含速度，若求加速度，需考虑从初始位置到任意位置，列方程对时间求导；,微分式显含速度微分，两边除以dt，即得加速度，但应考虑在任意位置列方程。,一般来讲，积分式容易理解，首先考虑用积分式求解。,14/27,解：设系统从初始到任意位置，重物上升s。画出所有主动力和相关运动量，如图。,设初始动能：T0 = 0,任意位置动能：,所有主动力做功：,对t 求导：,15/27,另解（微分式）：考虑系统在任意位置，系统有微小位移ds，画出所有主动力和相关运动量，如图。,微分形式动能定理
7、：,(1),任意位置动能：,所有主动力做元功：,16/27,代入(1)式，得,两边除以dt，得,总结： 应用积分式动能定理求加速度时，需要考虑从初始位置到任意位置这一有限过程（大过程）； 应用微分式动能定理求加速度时，需要在任意位置考虑一无限小过程（小过程），其中dT由对动能T求微分得到。,17/27,例9-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。,均质细杆AB长l = 1.0m，重Q = 30N，上端靠在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆柱中心相连，圆柱重P = 20N，半径R = 0.4m，沿水平面纯滚动。（1）当 = 45，若系统由静止开始运动，求此时A点的加速度；（2）在该位置，
8、若A点以速度vA = 1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。,分析：1dof 本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置）的加速度。能否在此位置应用微分形式的动能定理？,事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（）的加速度，再求初瞬时加速度（将 = 45代入）。,书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。,18/27,解：(1) 设系统从初始 = 45到任意位置 。画出所有主动力和相关运动量，如图。,初始动能：T0 = 0,任意位置动能：（H为杆瞬心，D为滚子瞬心）,对杆：,(a),而,对滚子：,代入(a)式得：,19/27,主动力只有Q做功：,对t求导得,
9、(b),动能定理：,注意到,(c),20/27,得,(c),将 = 45和vA = 0代入上式，得,(2) 将 = 45和vA = 1 m/s代入(c)式，得,动能定理小结：求导，约掉1速度项,21/27,例9-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。,均质细杆AB长l = 1.0m，重Q = 30N，上端靠在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆柱中心相连，圆柱重P = 20N，半径R = 0.4m，沿水平面纯滚动。（1）当 = 45，若系统由静止开始运动，求此时A点的加速度；（2）在该位置，若A点以速度vA = 1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。,ds,22/27,23/27,
10、作业：9-8，9-11，9-13,9-15图,24/27,9-5 功率 功率方程,功率方程实际是动能定理（微分形式）用功率表示的另一形式。主要用于计算机械效率，一般不直接用于求解普通动力学问题。,一、功率,二、功率方程,动能定理,功率方程,9-6 势力场 势能 机械能守恒定律,一、势力场,如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。 如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。如重力
11、、弹性力及万有引力都是势力。,25/27,二、势能 势能函数,势能：在势力场中质点从某一位置移至选定的基点的过程中势力所做的功。以V表示，即,重力场中的势能：如图所示重力的势能为,为了计算方便，取基点的位置,弹性力场中的势能：在弹性力场中,如取弹簧的自然位置为基点,势能函数：由上面的讨论可以看出，质点或质系的势能仅与质点或质心的位置有关，在一般情形下，质点或质系的势能只是质点或质心坐标的单值连续函数，这个函数称为势能函数，可表示为,26/27,势能函数相等的各点所组成的曲面称为等势面，表示为,如重力场的等势面是不同高度的水平面，如图 (a)。 弹性力场的等势面是以弹簧固定端为中心的球面，如图
12、(b)。,(a),地球引力场的等势面是以地心为中心的不同半径的同心球面。当C=0时的等势面称为零等势面，若选零等势面为势能的基面（零势面），某一位置的势能等于势能函数在该位置的函数值。 例如在重力场中，一般选水平面为零势面；在弹性力场中选弹簧自由长度，初变形为零处为零势能位置；万有引力场中选无穷远处为零势能位置。,27/27,三、机械能守恒定律动能定理的特殊形式,保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质系称为保守系统。对于保守系统，动能定理,势力的功与路径无关，可通过势能计算 。,如以O点为零势点，则,质系在某瞬时的动能与势能的代数 和称为机械能。,式称为质系机械能守恒定律，即保守系
13、统在运动过程中，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。,因为势力场具有机械能守恒的特性，因此势力场又称为保守力场，而势力又称为保守力。质系在非保守力作用下运动时，则机械能不守恒。例如摩擦力做功时总是使机械能减少，但是减少的能量并未消失，而是转化为另一形式的能量。,28/27,下次课预习：第十三章 动量定理、质心运动定理,作业：915，919,29/27,30/27,31/27,例9-2 需用到较多运动分析，稍难。,图示椭圆机构在铅直面内运动。OC、 AB为均质杆，OC = AC = BC = l，OC重P，AB重2P，AB受一常力偶M，在图示位置， = 30，系统由静止开始运动，求当A运动到O时A的速度vA 。滑块质量不计，C为铰链 。,32/27,例9-4 用动能定理建振动方程。,图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q，半径为R，沿水平面纯滚动，弹簧常数为k，初位置y = 0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，滑轮D质量不计，绳不可伸长。试建立物块A的运动微分方程，并求其运动规律。,