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第四节 三重积分的计算,一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定:,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图,三坐标面分别为,圆柱面;,半平面;,平 面,如图,柱面坐标系中的体积元素为,解,知交线为,解,所围成的立体如图,,所围成立体的投影区域如图,,二、利用球面坐标计算三重积分,规定:,如图,三坐标面分别为,圆锥面;,球 面;,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图,,球面坐标系中的体积元素为,如图,,解,补充:利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意:,、积分区域关于坐标面的对称性;,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称,,被积函数是 的奇函数,解,(1) 柱面坐标的体积元素,(2) 球面坐标的体积元素,(3) 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,思考题,