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1、第四章 连续时间系统的复频域分析,本章重点,1、Laplace 变换的定义和基本性质； 2、Laplace 变换应用于线性系统分析； 3、系统函数H（S）的概念； 4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的稳定性之关系。,ourier变换的局限性。 Laplace 变换的特点： 1、变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 3、可处理的信号范围更广； 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数运算； 5、自动引入初始条件，直接求出全解。,4-1 Laplace变换,一、 从ourier变换到aplace变换： ourier变换对：,对某些增长信号引入收敛因子,则有：,1、双边a
2、plase变换(double-sided Laplase transform),Laplase变换对：,象函数,原函数,2、单边aplase变换(single-sided Laplase transform),注意：不特别强调讨论的都是单边拉氏变换。 单边拉氏变换下限为。这样考虑到时刻可能发生冲激。,二、aplase变换的收敛域：（the region of convergence for Laplase transform） 1、单边拉氏变换的收敛域：,：收敛坐标 满足上式的函数称为指数阶函数。,2、双边拉氏变换的收敛域：,特别注意：双边拉氏变换要和收敛域一起，才能和原函数一一对应。,例：,
3、收敛域的特点： 1）收敛域为条状，平行于轴； 2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点； 3） f(t)为右边函数收敛域在的右边； 4） f(t)为左边函数收敛域在的左边； 5）f(t)为双边信号收敛域为条状。,三、常用信号的拉氏变换,1、 (t) 2、 U(t) 3、 e-at 4、cos(ot ) 5、sin(ot ) 6、 te-at,1,5-3 拉氏变换基本性质,1、线性性质：若,其中：C1,C2为任意常数,则,例：,e-at,f(t)=sin(ot ),2、尺度变换性：,若f(t) F(s)，则,3、时移性：,若f(t)U(t) F(s)，则,例1:,例2:求图示信号的拉氏变换。,例3:
4、 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。,【解】设,4、频移性：,若f(t) F(s)，则,解：,证明：,sin(ot ),若f(t) F(s)，则,例：,6、时域积分性：,解：,7、频域微分性：,若f(t) F(s)，则,8、频域积分性：,若f(t) F(s)，则,5、时域微分性：,若f(t) F(s)，则,9、时域卷积定理：,若,则,10、频域卷积定理：,则,若,初值: f(t)|t=0+=f(0+),若f(t) 有初值，且f(t) F(s)，则,12、终值定理：,终值: f(t)|t=f(),若f(t) 有终值，且f(t) F(s)，则,11、初值定理：,注意：终值存在的条件：F(s)在s右半平
5、面和j轴上无极点。,当f(t)含有冲激Ao(t)、Bo(t) 等时，有,j,S平面极点分布与时域波形对照图,5-4 拉普拉斯逆变换,（1）查表法 （2）利用常用信号拉氏变换与基本性质 （3）部分分式法 (亥维赛德展开定理) （4）留数法回线积分法 （5）数值计算方法计算机,方法：,例1:,例2:,利用拉氏变换性质和常用信号变换，有,解：,解：,例3:,解：,利用因式分解，有,部分分式展开,待定系数,例4：,练习: 已知信号的拉氏变换，求对应的信号f(t).,练习：, 5-5 线性系统的拉普拉斯变换分析法,一、电路元件的复频域模型,1、电阻元件,u(t)=Ri(t),U(s)=RI(s),2、电
6、感元件,S域欧姆定理,Ls：运算感抗,3、电容元件,5、模拟单元,2）比例器 y(t)=Af (t),F1(s),F2(s),Y(s),Y(s),Y(s),Y(s),F(s),F(s),F(s),1）加法器 y(t)=f1(t)+f2(t),3）微分器,4）积分器,二、s域电路基本定律,1、基尔霍夫定律,KVL定律：,KCL定律：,2、欧姆定律,其中：,（运算阻抗）,（运算导纳）,三、电路s域分析,基本步骤：,1） 画t=0-等效电路，求初始状态； 2） 画s域等效模型； 3） 列s域电路方程（代数方程）； 4） 解s域方程，求出s域响应； 5） 反变换求t域响应。,应用举例：,例 1 ：图示
7、电路，开关动作前已进入稳态，试求开关打开后电感支路电流。,解：,t0，开关k闭合，电路稳定，有,t0，开关打开，根据s域电路，有,图示电路，t0时电路响应i1(t)和 i2(t)。,练习：,解：,t0，开关k闭合，电路稳定,t0，开关k断开，由s域电路，有,例3： 图示电路。 1）f(t)=(t)， 求零状态响应h(t)； 2) 欲使零输入响应u Cx(t)=h(t)，求 i(o-)和u C(o-) 。,1）f(t)=(t)， 求h(t),由s域电路模型，有,解：,2) 欲使u Cx(t)=h(t)，求 i(o-)和u C(o-),由s域电路模型，有,故 i(o-)=1A，u C(o-)=0,
8、例4： 已知某线性时不变系统数学模型如下，us(t)=tU(t)，求零状态响应i(t)。,解：,例5： 线性时不变系统的模型如下，且已知：f(t)=U(t)，y(o-)=2， y(o-)=1。 求系统零输入响应、零状态响应以及全响应y(t)。,解：,零输入分量：,零状态分量：,全响应：, 4-4 系统函数,一、定义：, 零状态响应象函数,即：激励为est 时， H(s) 为系统零状态响应的加权函数。,意义：,3）系统s域数学模型，取决于系统自身结构和参数, 激励信号象函数,系统单位冲激响应的拉氏变换,二、分类：,策动点函数：激励与响应在同一端口,策动点导纳,策动点阻抗,转移函数：激励和响应不在
9、同一端口,（传输函数）,三、系统函数H(s) 求法,1、h(t) H(s) 2、H(s) =H(p)|p=s,3、零状态下微分方程 H(s) 4、零状态下复频域电路模型 H(s) 5、系统模拟框图、信号流图 H(s),练习1：已知某系统模型为,求系统函数H(s),练习2: 图示电路求系统函数H(s)。,由S域电路，有,练习3：已知系统模拟框图如右图示，写出系统函数。,四、应用：,yx(t),3）求系统零输入响应yx(t):,(系统自然频率),2）求系统零 状态响应yf(t):,1）求系统单位冲激响应 h(t):,4）求系统微分方程:,微分方程,条件: H(s)收敛域含j 轴,5）求系统频率特性
10、H(j):,6）求系统正弦稳态响应:,例1：,7）求周期激励下系统的稳态响应:,8）判断系统稳定性,9）系统模拟仿真,10）系统零极点分析,求级联系统的系统函数H(s);,求并联系统的系统函数H(s)。,例2：确定图示系统频率特性。,解：,因为H(s)收敛域含j 轴，故有,例3：某系统的系统函数为,解：,1） H(s)收敛域,求频率特性和激励f(t)=100cos(2t+45)时系统的正弦稳态响应y(t)。,含j 轴，有, 4-5 系统函数的零、极点分析,例1：,极点：,零点：,特点： 极点决定系统的固有频率或自然频率。 零、极点决定于系统时域特性。,一、系统函数的零点与极点,例：,零极点图：
11、,（2）,研究系统零极点意义： 1.可预测系统的时域特性； 2. 确定系统函数H(s); 3.描述系统的频响特性； 4. 说明系统正弦稳态特性； 5.研究系统的稳定性。,练习：H(s)的零极点分布如图示，且H(0)=4，求H(s)。,一、H(s)零、极点分布与系统的频率特性,其中：,矢量随频率的变化,（振幅）,（相位）, 4-6 系统的稳定性分析,一、定义,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。,二、稳定性准则（充要条件）,可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。,其中：Mf ， My为有限正数,其中：M为有限正数,即：
12、系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。,三、稳定性判断,1、极点判断：,（1） H(s)极点全部位于s左半平面： 系统稳定 （2）含有j 轴单极点，其余位于s左半平面：系统临界稳定 （3）含有s右半平面或j 轴重极点： 系统不稳定,由系统极点判断,2、霍尔维茨（Hurwitz）判断法：,若（1）系数无缺项； （2）ai0 i=0,1,n 则 D(s)称为霍尔维茨多项式,系统稳定必要条件： H(s)中的D(s)应为霍尔维茨多项式。,（一、二阶系统充要条件）,稳定条件：A 0 、 B0,3、罗斯（Routh）判断法：,例：,（1）D(s)应为霍尔维茨多项式 （2）排列罗斯阵列 （3）由罗斯准则判
13、断D(s)=0根的分布 （4）判断系统的稳定性。,罗斯阵列,例1：,罗斯阵列中首列元素同号时，故 D(s)=0的根全位于s左半平面。,罗斯准则：罗斯阵列中： 1）阵列中首列元素同号时，其根全位于s左半平面。 2）阵列中首列元素有变号时，则含有s右半平面根，个数为变号次数。,例2：,练习：,某行首列元素为零，其他元素不为零： 可用无穷小量代替0，继续阵列计算。 （无穷小量可视为正数或负数）,故：D(s)=0含两个s右半平面根,例3：,某行元素全为零，可从上行找辅助多项式，求导，得系数，继续阵列计算。,故： D(s)=0无s右半平面的根。但有一对共轭复根在j轴。,故：欲使系统稳定，k0。,欲使系统稳定工作，求K的取值范围。,例4：欲使图示系统为一个稳定工作系统，求k的取值范围。,练习：已知某系统函数为,0K110,习题6-19：图示为某放大器电路，1）求,解：,由s域电路模型，可列方程,2）欲使该电路为一个稳定系统，求k的取值范围； 3）在临界稳定条件下电路的单位冲激响应h(t).,欲使该电路为一个稳定系统，则k3.,临界稳定条件:K=3,