第四部分随机变量.ppt

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1、第四章 随机变量,随机变量及分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念.,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,例1 在装有 m 个红球， n 个白球的袋子中，随机 取一球，观察取出球的颜色.,此时观察对象为球的颜色，若以数“1”表示取到的 是红球，“0”表示取到的是白球，那么我们就可以 将实验结果与数联系起来，引入量化指标X：,=a1,a2,am

2、,b1,b2,bm,其中， ai表示红球 （i=1，2，m） bj表示白球 （j=1，2，n）,此试验的样本空间为,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,在实验之前，X 将取什么值是不确定的，而一旦有 了试验结果后，X 的值就完全确定.,比如 对 1im, X(ai)=1, 对 1jn, X(bj)=0.,P(X=1)= P(X=0)=,且，X 的取值有一定的概率,m/(m+n) n/(m+n),4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,此时观察对象为出现点数,=1,2,3,4,5,6,试验的样本空间为,引入量化指标X,并令：,即,4.1 随机变量及分布函

3、数 一、随机变量,上述例子中，试验结果可用一个数 X 来表示，,这个数 X 随着实验结果的不同而变化，,即它是样,本点的一个函数，,这种变量称为随机变量.,常用大写英文字母 X，Y，Z 等表示.,下面给出随机变量的数学定义.,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,定义：对给定的随机实验，=是试验的样本空间，如果量 X 是定义在上的一个单值实函数，即对于每一个 ，有且只有一实数X=X()与之对应，则称 X=X()为随机变量。 随机变量常用大写字母 X、Y、Z 等表示，用字母小写 x、y、z 等表示其取值。,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,注：随机变量X() 与高等数学中的实函数的区

4、别：,X()的定义域是样本空间 ，而 不一定,是实数集；,X()的取值是随机的，它的每一个可能取值,随机变量是随机事件的数量化.即对于任意,实数 x, X()x 是随机事件.,都有一定的概率；,对于随机变量,我们常常关心它的取值.,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,特点： 1. X 的全部可能取值是互斥且完备的 2. X 的部分可能取值描述随机事件 分类： 随机变量,例4: 考察掷两次硬币这一试验，样本空间为S=HH，HT，TH，TT，令X表示正面出现的次数，X是一随机变量，且有X1HT，TH，值域 Rx=0，1，2 例5: 假设我们关心某地区居民的身高情况，可引入随机变量X：(单位c

5、m) X随机抽出一个人其身高 则X就是随机变量，事件“随机抽出一个人的身高不超过170cm”可表示为X170。,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,例6 从一批量为N、次品率为p的产品中，不放回抽 取 n（nNp）个，观察此样品中的次品数.,此时观察对象为样品的次品数，我们记之为 Y， 那么 Y 的可能的取值为 0，1，2,n.,引入随机变量后，就可以用随机变量表示随机 试验下的各种形式的随机事件,比如本例中：,A=没有次品,A=|Y()=0,A=Y=0,B=至少有2个次品,B=|Y()2,B=Y2,C=不多于k个次品,C=|Y()k,B=Yk,

6、例7: 某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一随机变量，其纵坐标Y也是随机变量。 例8:一批产品共100件，其中95件合格，5件不合格。从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件合格品为止时所取出的产品件数X是一随机变量。 Rx=1,2,. 例9: 一个月某交通路口的事故数X，是随机变量。 例10: 用天平称量某物体的重量的误差X，是随机变量。,4.1 随机变量及分布函数 一、随机变量,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,如果我们对随机事件X()x 求概率,就引出,了随机变量分布函数的概念.,1. 分布函数的定义,设 X 是一个随机变量，称定义域为(-,+),函数值在区间0

7、,1上的实值函数,F(x)=P(Xx) (-x+),为随机变量 X 的分布函数.,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,例4 设一口袋中依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个 球，从中任取1个球，记X为取得的球上标有的数字， 求X的分布函数.,当 x-1时，,解：X 的可能取值为-1，2，3，取这些值的概率分 别为 1/6，1/2，1/3,Xx是不可能事件，,F(x)=0;,当 -1x2时，,Xx等同于X=-1，,F(x)=1/6;,当 2x3时，,Xx等同于X=-1或X=2，,F(x)=2/3;,当 x3时，,Xx是必然事件，,F(x)=1;,4.1 随机变量及分布函数 二

8、、随机变量的分布函数,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,由此题可以看出,一般地，若X为离散型随机变量，其概率分布P(X=xk)=Pk(k=1,2,3)则X的分布函数为,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,注1： （1）由分布函数的定义知，分布函数F(x)在x处的函数值是事件F(x)=PXx=P(e|X(e)x的概率。 若把X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值，就是表示X落在区间-,x上的概率。 （2）若已知x 的分布函数F(x)，我们就知道了X落在任一区间的概率，从这个意义上讲，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。,（3）分布函数

9、是在(-,+)上值域为 0，1的普通函数，它具有良好的分析性质，许多概率论的问题归结为函数的运算从而利用数字分析出许多结果，这是引入分布函数的好处之一，再加上分布函数对任意随机变量都有定义，因此分布函数在理论上有极重要的地位。,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,注2： （1）随机变量X是一个从样本空间到实数空间的函数，它的定义域为样本空间。它的值域Rx为全体实数集或它的一个子集。 （2）从随机变量的定义来看，它与通常的函数概念没有什么不同，把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前，我们不能预知它取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验完成后，它的取值就确定

10、了。,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,2. 分布函数的性质,(1) 由于对于任意的,为一概率,根据概率公理化定义,有,证,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,重要公式,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,重要公式,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,4.1 随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,解：,例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘

11、的面积成正比，并设击中都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函数。 解: 若 x0,则Xx是不可能事件，于是 F(x)=PXx=0 若0x2，由题意，P0Xx=kx2, k是某一常数，为了确定k的值，取x=2，有,随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,若x2，由题意Xx是必然事件，于是 F(x)=1 综合上述，即得X的分布函数为,P0X2=22k，但已知P0X2=1， 故得k=1/4 ，即P0Xx=x2/4，于是 F(x)=PXx=Px0+P0Xx=x2/4,随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数,它的图形是一条连续的曲线，如图,随机变量及分布函数 二、随机变量的

12、分布函数,设连续型随机变量 X 的分布函数为:,求: (1) 常系数 A及B ;,(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率.,解,(1) 根据分布函数的性质可知,依题意可得,练习1,联立上面两个方程可以解得,(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为,练习2,抛掷均匀硬币,求随机变量X的分布函数.,解,1离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离散型随机变量。,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,定义 设X为离散型随机变量，X的所有可能取的值为xk(k=1，2)，记 X 取 xk 的概率为 PX=

13、xk=pk (k=1，2，)， 则称下面一组等式 PX=xk=pk (k=1，2，)为X的分布律。 probability distribution,2离散型随机变量的分布律,（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般从小到大排列。,（2）分布律可以用图形表示,分布律的表示方法：,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,分布律具有以下性质:,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,证明:设离散型随机变量X的取值为x1,xn, 则事件组X=x1，X=xn，构成了的一个划分。,例：设离散型随机变量X的分布律为,P(X=i)=pi (i=1,2,n),其中， 0p1, 求 p

14、的值.,解： 由分布律的性质,得,所以,P=1/2,从而,试求待定系数a,P(X3).,例：已知随机变量X的分布律为,即可求得 a=1/6,解: 由分布律的性质可知,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律(一班进度),（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数： 设一离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk (k=1，2，) 由概率的可列可加性可得X的分布函数为,这里的和式是所有满足xkx的k求和的。分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跃跳值为pk=Px=xk。,分布律与分布函数的关系,已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。 例如，求事件X

15、B（B为实轴上的一个区间）的概率P XB时，只需将属于B的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率P XB，即,因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,例袋中5个球，分别编号15，从中同时取出3个，以X 表示取出球的最小编号，求X 的分布律与分布函数,解： PX=1=C24/C35=3/5,PX=2=C23/C35=3/10,PX=3=1/C35=1/10,X 的分布律为,下面求 X 的分布函数,当 x1时，,Xx是不可能事件，,F(x)=0;,当 1x2时，,Xx等同于X=1，,F(x)=3/5;,当 2x3

16、时，,Xx等同于X=1或X=2，,F(x)=9/10;,当 x3时，,Xx是必然事件，,F(x)=1;,综合得,例2.一盒内装有5个乒乓球，其中2个是旧的，3个是新的，从中任取2个，求取得的新球个数x的分布规律，并计算：,解：x=（取得新球的个数），其分布规律为 或 X的分布函数F(x)=P,法一： 法二：,设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F(x)的所有间断为x1,x2,，那么，X的分布律为,4.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律,（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：,步骤 :取定值, 算概率,验证一,已知,求X的分布律.,P(X=1)=P(X1)=F(

17、1)=3/5,P(X=2)=P(1X2)=F(2)-F(1)=9/10-3/5=3/10,P(X=3)=P(2X3)=F(3)-F(2)=1-9/10=1/10,因此 X 的分布律为,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 （01）分布,1.（01）分布： 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0p1) 则称X服从（01）分布,记为X（01）分布。 （01）分布的分布律用表格表示为：,易求得其分布函数为：,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 （01）分布,注：一般在随机试验中虽然结果可以很多，但如果只关注具有某种性质的结

18、果，则可将样本空间重新划分分：A 与 ，A 出现时，定义X=1； 出现时，定义X=0，此时X服从 0-1分布.,0.3,0.7,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 （01）分布,二、常用离散型分布 （01）分布,例：200件产品中，有190 件合格，10件不合格，现从中取一件，若规定 则随机变量服（01）分布,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 （01）分布,0.6+0.3,0.1,2.二项分布： 定义：若离散型随机变量X的分布律为,其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为Xb(n,p).,即X服从二项分布。,(1)试验模型：在n重贝努利试验中，若以X表示

19、事件A出现的次数，则X是一随机变量，X可能取的值为0,1,2,，n,由二项概率公式可得X的分布律为,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,（2）因为 ，其中 恰为二项式 的一般项，故称为二项分布。,（3）当n=1时，二项分布为（01）分布，即 Xb(,p)。,（4）二项分布的分布律为：,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,二项分布的取值情况,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,X(8,1/3),X 的分布律为,二项分布的取值情况,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,X(20,0.2),X 的分布律为,使PX=k取得最大值的

20、k 称为分布的最可能值.,二项分布的最可能值,二项分布的最可能值(或最可能成功次数)为,若(n+1)p不是整数,若(n+1)p是整数,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,例：从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/4，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律及至多遇到一次红灯的概率.,解：X 服从参数为 3，1/4 的二项分布 B(3,1/4),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,其分布律为,即,至多遇到一次红灯的概率为,P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=27/32,例：已知某公司生产的

21、螺丝钉的次品率为0.01，并设各个螺丝钉是否为次品是相互独立的.这家公司将每10个螺丝钉包成一包出售，并保证若发现某包内多于一个次品则可退款.问卖出的某包螺丝钉将被退回的概率有多大?,解：X 服从参数为 10，0.01的二项分布 B(10,0.01),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,当X1时,这包螺丝钉将被退回,例：设某保险公司的某人寿保险种有1000人投保,每个人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率.,解：X 服从参数为1000，0.005的二项分布 B(1000,0.005

22、),4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,直接计算很繁，下面介绍possion定理。,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 二项分布,例：某人进行射击，设每次的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解：设击中的次数X,则XB(400,0.02) X分布概率为 其中k=0,1，400 因此,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布,泊松定理： 设0是一常数，n是任意正整数，设npn=,则对于任一固定的非负整数k，有,证明：由pn=/n有,对于任意固定的k，当n时,意义：定理的条件npn=（常数）意味着当n很大大于10时，pn必定很小小于0.1。因此

23、，上述定理表明当n很大、p很小时有以下近似式,其中=np,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布,3.泊松分布： 泊松分布是1837年法国数学家泊(PoisoonS.D.1781-1840)首次提出的 (1)设离散型随机变量X的分布律为,其中0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X()。,显然,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,(2) 泊松分布背景： 例如，在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数、一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发

24、出的、经过计数器的粒子数等都服从泊松分布，泊松分布也是概率论中的一种重要分布。,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,例1 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.,解：设 X 服从参数为的泊松分布,由题意知,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,P(X=0)=P(X=1),即,解得,=1,因此,至少有两辆车通过的概率为,例 有300台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理(一人修一台),问至少需要多少工人，才能保证当设备发

25、生故障但不能及时修理的概率小于0.01.,解：设需要配备修理工人数为N个，设备同时发生故障的台数为X台，由题知求最小的N为多少，即使 PXN0.01. 因为XB(300 , 0.01)，由于n很大，p很小,故用泊松分布近似,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,查表可得：,N+1=k9 = N=8（最小的）,4.2 离散型随机变量 二、常用离散型分布 泊松分布,例 有80台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理.（1）由四个人负责维修，每人20台设备,求设备发生故障，而不能及时修理的概率；（2）又若由三个人共同负责维修80台，求设备及时修

26、理的概率。,解：（1）设X为发生故障的机器数,XB(20，0.01) X取值为0,1,2,20. 因为一人只能修一台机器，故所求概率为：,（2）设X为发生故障的机器数，XB(80，0.01) X取值：0，1，2，80。,结论：（1）（2），说明尽管情况2任务重了（一个人修27台），但工作质量提高了，也说明，概率方法可用来讨论国民经济中某些问题，以使达到更有效地使用人力、物力、资源的目的，这是运筹学的任务，概率论是解决运筹学问题的有力工具。,例：某计算机内的存储器，由300个存储单元组成每一个存储单元损坏的概率为0.0005，如任一存储单元损坏时，计算机便停止工作，求计算机停止工作的概率。,解：

27、设x表存储单元损坏的个数，则,若用泊松分布近似 则,计算机停止工作的概率约为0.777 两种结果计算表明，结果相差不大,例.（人寿保险）在保险公司里有2500个同龄同社会阶层的人参加了人寿保险，在每一年里每一个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费而在死亡时，家属可在公司领取200元，问 1）保险公司亏本的概率是多少？ 2）保险公司获利不少于1万元的概率？,解：设X表这一年内死亡的人数，则XB(2500,0.002)保险公司在1月1日的收入是250012=30000元,保险公司在这一年付出 元，假设 即x15人时公司亏本，于是， 由泊松定理得: =25000.02=

28、5,2）获利不少于一万元，即30000 10000 即,超几何分布 (Super geometry distribution),设一批产品共有N个，其中有M个次品，现从中任取 个，令,上述分布称为超几何分布，记做XH(n,N,M),则X的分布律为,X=“取出的n个产品中包含的次品数”,几何分布(Geometry distribution),在Bernoulli试验序列中，设每次试验中事件A发生的概率都为 P ，令 X=“事件A首次出现时的实验次数” 则随机变量X的可能取值有 ，其分布为 称X服从几何分布，记作 xGe(p),4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例：设随机变量X的分

29、布函数为,则可将F(x)表示为f 的含变动上限x的积分，即,当x0时,当0x1时,当1x时,1.定义：如果随机变量X的分布函数为F(x) 对于每一x可以表示为,其中 f(x)0,则称X为连续型随机变量，函数f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称为密度函数.,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,2. 连续型随机变量的分布函数F(x)性质 (1).连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 (2).对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即PX=a=0。 事实上，设X的分布函数为F(x)，则PX=a=F(a)-F(a-0) 而F(x)为连续函数，所以有F(a-0

30、)=F(a)，即得： PX=a=0. 这里PX=a=0 ，而事件X=a并非不可能事件。就是说，若A是不可能事件,则有P(A)=0；反之，若P(A)=0 ，A并不一定是不可能事件。,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,（3）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有 PaXb=PaX b = Pa X b=PaXb,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,3.密度函数f(x)的性质：,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,(1).,(2).,反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概

31、率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。 几何意义：曲线y=f(x)与x 轴之间的面积等于1,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,(3).,几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率Px1Xx2等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积,(4).若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)。,这是因为 ，当f(x)连续时， F(x)可导，所以在f(x)的连续点处，F(x)=f(x).,(5).概率密度f(x)的物理意义 由性质4 在f(x)的连续点x处有,4概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系： (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)

32、，那么它的分布函数为,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F(x).,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例1: 设随机变量X具有概率密度,求:(1) 常数c的值；(2) P(-1X1).,解:(1)由于 , ，解得 c=3/8.,(2)P(-1X1)=,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,例2: 确定常数A，B使得函数,为连续型随机变量X的分布函数，并求出X的概率密度及概率P-1X2。,解: 由分布函数的

33、性质知,所以 B=1. 又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A， 所以：A=1/2,4.3 连续型随机变量 一、概率密度函数及其性质,于是X分布函数为：,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，其中a,b为两个参数,且ab,记为 XU(a，b). 若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为,1均匀分布 设连续随机变量X的密度函数为,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,f(x)及F(x)的图形分别如:,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,例1:

34、 某公共汽车站从上午7时起,每隔15min来一趟车,一乘客在7：00到7：30之间随机到达该车站，求 (1)该乘客等候不到5min乘上车的概率;(2)该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率.,解: 设乘客于上午7点过X分到达该车站，则X服从区间(0,30)上的均匀分布,X的密度函数为,(1),(2),4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,例2: 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧1100欧。求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。 解: 按题意，R的概率密度为,故有,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 均匀分布,注 (1).均匀分布的特性：若X

35、U(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)(a，b)，则,就是说在同样长的子区间内概率是相同的，这个概率 只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。 (2).我们现在能把一个区间a，b上随机地选取一个点P的直观概念加以精确化。简单地说就是所选取的点P的坐 标X在a，b上是均匀分布的。,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 指数分布,2. 指数分布 如果连续型随机变量X的密度函数为,其中o为常数，则称X服从参数为的指数分布,记为 XE(). 服从指数分布的随机变量X的分布函数为,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 指数分布,f(x)及F(x)的图形,4.3 连续型随机变量 二、常

36、用的连续型分布 指数分布,例：设打一次电话所用的时间(单位:min)服从参数为0.2的指数分布,如果有人刚好在你前面走进公用电话间并开始打电话(假定公用电话间只有一部电话机可供通话),试求你将等待(1)超过5分钟的概率,(2)5分钟到10分钟之间的概率.,解:,令X表示电话间中那个人打电话所占用的时间,X服从参 数为0.2的指数分布,X的密度函数为,(1),(2),4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,验证f(x)是一个合理的概率密度函数: 显然，f(x)0； 下面验证,3.正态分布 （1）定义1：设随机变量X的概率密度为,其中，（0）为常数，则称X服从参数为,2的正态分布,

37、记为XN(,2).,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,对于积分 ，作代换 ， 则,因为,所以,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,(2) 正态密度函数f(x)的几何特征 因为,得：驻点：x=,为函数的极大值点； 拐点：x=.作图如下,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,所以 曲线关于x=对称，这表明对于任意ho，有 P-hX= PX+h ； 当x=时取到最大值,X离越远，f(x)的值越小，表明对于同样长度的 区间，当区间离越远，X落这个区间上的概率越 小。,在x=处曲线有拐点，又由于 ， 所以曲线以x轴为水平渐近线。,4.3 连续型

38、随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布, 如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数所确定，称为位置参数。 如果固定，改变，由于最大值 ，可知当越小时图形变得越尖，因而X落在附近的概率越大。,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,(3).正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算 若XN(0，1)，则概率密度 ，如图:,X的分布函数为：,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,一般的， 通过查表求得.,常用性质: A.对于任意实数x，有(x)+(-x)=1.,一般正态分布的概率计算 若XN

39、(，2)，则X的分布函数为：,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,对此积分作代换 s=(t-)/，则,因此计算F(x)时化为求 ,可查表求得.,一般的，,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,设X服从N(0,1).借助于标准正态分布的分布函数表计算,(1)P(X2.35); (2)P(X-1.24);(3)P(|X|1.54);,解:,(1)P(X2.35)=(2.35)=0.9906,(2)P(X-1.24)=(-1.24)=1-(1.24) =1-0.8925=0.1075,(3)P(|X|1.54)= P(-1.54X1.54) =(1.54)

40、-(-1.54) =(1.54)-1-(1.54) =2(1.54)-1 =20.9382-1 =0.8764,二、常用的连续型分布 正态分布,XN(0,1) 求P(1.25X2) 解： 引理：若 证: 故,例：已知 ,求PCXd 解：,因此 即,例：证,证：,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,设Y服从N(1.5,4),计算,(1)P(Y3.5); (2)P(Y-4);(3)P(Y2);(4)P(|Y|3).,解:,(1)P(Y3.5)=(3.5-1.5)/2)=(1)=0.8413,(2)P(Y-4)=(-4-1.5)/2)=(-2.75)=1-(2.75) =1

41、-0.9970=0.0030,(4)P(|Y|3)= P(-3Y3)=(3-1.5)/2)-(-3-1.5)/2) =(0.75)-(-2.25) =(0.75)-1-(2.25)=0.7734-(1-0.9878) =0.7612,(3)P(Y2)=1-(2-1.5)/2)=1-(0.25) =1-0.5987=0.4013,4.3 连续型随机变量 二、常用的连续型分布 正态分布,例：,某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X服从 N(72,2),且96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考 生的外语成绩在6084分之间的概率.,解:,=72, 2未知,但可由P(X96)=0.023求得,P(X96)= 1-(96-72)/)=0.023,P(60X84)=(84-72)/12)-(60-72)/12) =(1)-(-1) =2(1)-1=20.8413-1 =0.6826,=12,因此,(24/)=0.977,查表得, 24/=2,小结,1.连续性随机变量 分布函数 概密 2.常见连续型随机变量的分布：均匀，指数，正态（高斯分布）。正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布，一个变量如果受到大量微小的，独立的随机因素影响，那么这个变量一般是一个正态随机变量。,