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1、第一章 矢量分析,标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量 散度,矢量场的环流 旋度,亥姆霍兹定理,第一章 矢量分析,第一节：矢量分析基础,一、矢量与矢量场,1、标量： 2、矢量 表示方式:,3、标量场与矢量场,标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变 化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场, 高度场等。,矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.,4、矢量的运算,二、常用坐标系,1、直角坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一
2、点P（x0,y0,z0):,坐标变量:,变量取值范围：,微分元：,2、圆柱坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点P(r0,0,z0),变量取值范围,微分元,3、球面坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,位置矢量：,变量取值范围:,微分元：,4、坐标变换,圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,第二节 矢量场的通量 散度,一、矢量线（力线）,矢量场的通量,二、矢量场的通量,矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；,若S 为闭合曲面,3）物理含义：以流速场为例,讨论：1）面元矢量 定义；,2）,三、矢量
3、场的散度,1、散度的定义,2、散度的物理意义,1) 矢量场的散度是一个标量；,通过闭合面S的通量的物理意义：,a) 若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；,b) 若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；,c) 若 ，闭合面内无源。,在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为：,2),矢量场的散度是空间坐标的函数；,3、散度的计算,1) 在直角坐标系下：,( 无源）,( 正源),负源),3) 表征该点单位体积内源的强度。,讨论：在矢量场中，,1）若 ，则该矢量场称为有源场，为源密度；,2）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。,哈密顿算符,2) 在圆柱坐标系下：
4、,3) 在球面坐标系下：,四、散度定理（矢量场的高斯定理）,该公式表明了区域V 中场 与边界S上的场 之间的关系。,第三节 矢量场的环流 旋度,一、矢量的环流,环流的定义：,设有矢量场 ，沿场中任一闭合的有向路径l的积分，叫作 沿曲线l的环流。即：,讨论：1）线元矢量 的定义；,3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。,2),反映矢量场漩涡源分布情况。,二、矢量的旋度,1. 环流面密度,在场矢量 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小时，可定义 在点M处的环量面密度,环流面密度的计算公式：,其中 为点M处 的
5、方向余弦,2. 矢量场的旋度,在直角坐标中，若定义F为：,式中： 表示面元单位法线方向；,则称：矢量F为矢量A的旋度，记作：,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用 表示,3. 旋度的物理意义,4. 旋度的计算,1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；,1) 在直角坐标系下：,三、斯托克斯定理,四、矢量场旋度的重要性质,意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。,第四节 标量场的梯度,一. 标量场的梯度,1、梯度的定义,1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
6、,2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场在该点处变化率最大的方向，模表示此最大变化率的数值。,2、梯度的运算,1）在直角坐标系中：,2）在柱面坐标系中：,3）在球面坐标系中：,三. 梯度的重要性质,标量场的梯度的旋度恒等于零。,四. 例题,例题一,例题： 若 ， 证明：,说明：,第五节 亥姆霍兹定理,一. 亥姆霍兹定理,在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。,二. 矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1) 调和场,若矢量场 在某区域V内，处处有： 或 则在该区域V内，场 为
7、调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,2) 有源无旋场,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某 些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为有源无旋场。,2)有源无旋场为保守场，其重要性质为：,1) 为矢量场通量源密度；,保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。,讨论：,3) 无源有旋场,若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某 些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为无源有旋场。,说明：式中 为矢量场漩涡源密度。,亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。,4) 有源有旋场,若矢量场 在某区域V内，在某些位置或整个空间内， 有 和 ，则称在该区域V内， 场 为有源有旋场。,有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：,