第一章概率论的基本概念第节.ppt

《第一章概率论的基本概念第节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章概率论的基本概念第节.ppt（79页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、概率论,上海大学理学院数学系 崔洪泉 Email: Tel:13701957168,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜a局( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机试验,概率论起源于并不高尚的赌博，但它目前已经发展为一个蔚为壮观的庞大数学理论，它在社会科学、生物学、物理学和化学、经济学、保险业等都有着广泛的应用。,在西方的语言中，概率 ( probability )

2、一词是与 探求 ( probe ) 事物的真实性联系在一起的。我们的 生活中有确定性的一面，如像瓜熟蒂落，日出日没， 春夏秋冬，暑往寒来，次序井然，有固定规律可循。 生活的另一面却充满了各种各样的偶然性，充满了 各种各样的机遇，茫茫然而难踪其绪。概率论的目 的就在于从偶然性中探求必然性，从无序中探求有 序。概率论是机遇的数学模型。,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1. 确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象，,一类是确定性现象，,另一类是随机现象。,在一定条件下可能出现也可能不出现的、事先,无

3、法确切知道其结果的现象称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察 正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,实例4 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.,实例5 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨” 等都为随机现象.,随机现象

4、的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，,观察的过程称为随机试验（试验）。,在概率论里所讲的试验与一般现实生活中的试验,有所不同，它必须具有以下三个特点：,(1) 在相同的条件下试验可重复进行；,(2) 每次试验的结果具有多种可能性, 且在试验之前，,试验的所有可能结果是可以明确知道的；,(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪,一个结果。,人们经过长期实践并深入研究后，发现随机,现象虽然具有不确定性，但在大量重复试验下，,它的结果却呈现出某种规律性。,这种在大量

5、重复试验中所呈现的规律性，称,为统计规律性。,概率论和数理统计是数学的一个分支，它研,究的对象是随机现象的统计规律性。即在相同的,条件下，通过大量重复的试验来分析研究随机现,象出现的数量规律。,第二节 样本空间、随机事件,（一）样本空间,对于一个试验，尽管各次试验的结果,在试验之前无法预知，但试验的所有可能,结果所组成的集合是已知的。,我们将随机试验 E 的所有可能的结果,所组成的集合称为 E 的样本空间，,记为 S .,样本空间的元素，称为样本点。,试验E1:,抛一枚硬币, 观察正面H、反面T出现的情况。,样本空间 1:,试验E2:,将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现的次数。,样本空间 2:

6、,试验E3:,记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,样本空间 3:,试验E4:,在一批灯泡中任意抽取一只, 测试它的寿命。,样本空间 4:,（二）随机事件,试验E的样本空间S的子集称为E的随机,事件，简称事件。,在每次试验中, 当且仅当这一子集中的,一个样本点出现时，称这一事件发生。,特别地，由一个样本点组成的单点集，,称为基本事件。,每一基本事件对应着试验,的一个可能结果。,如试验E1有两个基本事件：,和,记为,如试验E3有无数个基本事件：,两个特殊的事件：必然事件和不可能事件,必然事件：,样本空间S作为自身的子集，包含了所有 的样本点，其对应的事件就是必然事件。,不可能事件：,空集

7、作为样本空间S的子集，它不包 含任何样本点，其对应的事件就是不可 能事件。,例：,设 表示“掷骰子出现 i 点”这一基本事件，,则样本空间为,且,表示“掷骰子出现奇数点” 这 一事件；,而,表示“掷骰子出现的点,数大于或等于5点”这一事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,设试验E的样本空间为S，而,是S的子集。,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的 每一个样本点也属于B，则称事件B包含A。,(或称A包含于B，A是B的子事件),记为,或,为了方便起见，规定对任一事件A，有,显然，对任一事件A，有,同样，如,且,则,如,且,则称事件 A, B 相等，,记为 A=B。,2. “事件A与B至少有

8、一个发生”这一事件称为 事件A与B的并(和)事件。,记为,它是由属于A或属于B的所有样本点组成的,集合。,即：,此定义可推广到有限个或无限个事件。,即：,n个事件的和事件,无限可列个事件的和事件,3. “事件A与B同时发生”这一事件称为事件A与B的交(积)事件。,记为,它是由既属于A又属于B的所有公共样本点,组成的集合。,即：,或 AB .,此定义可推广到有限个或无限个事件。,即：,n个事件的积事件,无限可列个事件的积事件,4. “事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差事件。,记为,它是由属于A但不属于B的那些样本点组成,的集合。,即：,通常把两个互不相容的事件A与B的和事件,5.

9、如果事件A与B在一次试验中不可能同时发生，即 则称事件A与B是互不相容 的，或互斥的。,记为A+B。,如果n个事件,中任意两个事件,都不可能同时发生，即,则称这n个事件是两两互不相容的。,或简称这n个事件是互不相容的。,如对一个试验而言，它的各个基本事,件之间是互不相容的。,若事件A与B互为对立事件，则在一次试验中，事件A与B必有一个发生，且只有一个发生。,事件A的逆事件记为,6. 若 且 则称事件A与B互为逆事件；又称事件A与B互为对立事件。,它是由样本空间S中所有不属于A的那些样本点组成的集合。,事件的运算规律,设试验E的样本空间为S, 而,是S的子集。,(1) 交换律,(2) 结合律,(

10、3) 分配律,(4) 德.摩根律,另外一些常用的运算规律,例1：设一个工人生产了四个零件，又 Ai 表示事件 “他生产的第i个零件是正品”( i=1,2,3,4)。试用诸Ai 表示下列各事件。 没有一个产品是次品； 至少有一个产品是次品； 只有一个产品是正品； 至少有三个产品不是次品。,解：,即最多只有一个是次品,例2： 一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射击时击中目标( i=1,2,3)。试用文 字叙述下列事件。,前两次中至少有一次击中。,第二次未击中。,三次中至少有一次击中。,三次都击中。,第三次击中但第二次未击中。,后二次中至少有一次未击中。,第三节 频率与概率

11、,（一）频率 定义,在相同的条件下，进行了n次试验，在这 n 次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A 发生的频数。,比值,称为事件A发生的频率，,记为,显然，频率具有下述基本性质：,(1) 有界性,(2) 规范性,(3) 有限可加性,若,是两两互不相容,的事件，则,硬币投掷试验：,（二）概率 定义,设E是随机试验，S是它的样本空间。 对于E的每一事件A赋于一个实数，记为,称为事件A的概率。,如果集合函数,满足下列条件：,(1) 非负性：,对于每一个事件A，有,(2) 规范性：,对于必然事件S，有,(3) 可列可加性：,设,是两两互不相容的,事件，即,则有,在第四章中，我们将证明：,概率的一些

12、重要性质：,性质1,性质2,概率的有限可加性,若,是两两互不相容的事件，则有,性质3,从而有,性质4,对任一事件A，有,性质5,对任一事件A，有,性质6,（逆事件的概率）,（加法公式）,对任意两个事件A，B 有,推论,若A，B互斥，则,加法公式可推广到有限个事件上去。,如对任意三个事件A，B，C，有,例1：设事件A，B的概率分别为 与,求在下列三种情况下,的值。,解：,例2：设A, B, C是三事件，且,求A, B, C至少有一个,发生的概率。,解：,A, B, C至少有一个发生的概率,第四节 等可能概型（古典概型）,如果一个试验满足：,样本空间中只有有限个基本事件，即在试验中,(2) 每个基

13、本事件发生的可能性相同。,则称该试验为古典概率试验（模型）,所有可能出现的结果的个数是有限的；,如掷硬币、,骰子、,摸小球等。,对古典概率试验，假定样本空间S所含的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件总数为k。则,例1：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去， 问各册从左到右或从右到左恰成1、2、3、4的 顺序的概率是多少？,解：,例2：100个产品中有3个次品，任取5只，求其次品 数分别为0，1，2，3的概率？,解：,设 Ai 表示取出的产品中有i个次品。,例3：概率论中有一个历史上颇为有名的问题：要求 参加某次集会的n个人 没有两个人生 日相同的概率？,解：,分析：,每个人的生日都以同

14、样的概率 落在一年 的365天中。,现要求n个人中没有两个人生日相同，即n个 人生日均不相同。,n,P,10,0.88,20,0.59,30,40,50,0.29,0.11,0.03,例4: 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：,(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有,每个班各分配到

15、一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：,例5：一袋中装有6只球，其中4只白球、2只红球。 从袋中取球两次，每次随机地取1只，考虑两种取 球方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回袋 中, 搅匀后再取一球, 这种取球方式叫做放回抽样。 (b) 第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中 再取一球, 这种取球方式叫做不放回抽样。试分别 就上面两种情况求： 取到的两只球都是白球的概率； 取到的两只球颜色相同的概率； 取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,解

16、：,现在讨论不放回抽样的情况。至于放回抽样 的情况请同学自己思考。,以 A、B、C 分别表示事件“取到的两只球都是白 球”、“取到的两只球都是红球”、“取到的两只球 中至少有一只白球”。,则,例6: 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 200

17、0 , AB = 24, 48 1992 ，,课 外 习 题,第 23 页,2, 3，5，7，8，10,第五节 条件概率,（一） 条件概率,在许多实际问题中，我们往往会遇到在事件A 已经发生的前提下，求事件B发生的概率。这时由 于有了附加条件，我们称这种概率为条件概率。,定义,在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概 率称为事件B在给定 A下的条件概率。简称为B对 A 的条件概率。,记为,相应地，,称为无条件概率。,一般来说，,例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的 情况. 设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两 次掷出同一面”。现在求,解：,样本空间为 S=HH, HT, TH,

18、TT,A=HH, HT, TH,B=HH, TT,易知此属古典概型问题。,已知事件A已发生, 有了这一信息, 知道“TT”不可能 发生。,即知试验所有可能结果所成的集合就是A。,A中共有3个元素，其中只有,于是, 在A发生的条件下B发生的概率为,显然，,定义：,设A, B是两个事件，且,则定义,不难验证, 条件概率,符合概率定义中的三条件,即,(1) 非负性：,对于每一个事件B, 有,(2) 规范性：,对于必然事件S，有,(3) 可列可加性：,设,是两两互不相容的,事件，,则有,既然条件概率符合上述三个条件，所以第三节中 所证明的关于概率的一些性质都适用于条件概率。,例2：一个家庭中有两个小孩

19、。已知其中一个是女 孩, 问这时另一个也是女孩的概率是多少？( 假定 一个小孩是男是女是等可能的),解：,样本空间 S=(男,男), (男,女), (女,男), (女,女),设 A=“两个小孩中有一个女孩”,A=(男,女), (女,男), (女,女),再设 B=“两个小孩都是女孩”,B=(女,女),（二）乘法定理,乘法定理,此结果可推广到多个事件的积事件的情况。如,设A, B, C为三个事件，且P(AB) 0，则有,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随意地拔号. 求他拔号不超过三次而接通所需电 话的概率. 若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？,解：,则拔号不超过三次而接

20、通的概率为,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而 他随意地拔号. 求他拔号不超过三次而接通所需电 话的概率. 若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？,解：,若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过 三次而接通的概率为,（三）全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设S为试验E的样本空间，,为E,的一组事件，若,则称,为样本空间S的一个划分。,若,为样本空间S的一个划分，,那么，对每次试验，,事件,中必有一个,且仅有一个发生。,例如，设试验E为“掷一棵骰子观察其点数”。,它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6.,E的一组事件B1=1,2,3, B2=4,5, B3=6是S的 一个划分。,

21、而事件组C1=1,2,3, C2=3,4, C3=5,6不是S的划分。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为全概率公式。,证明：,得到,证毕,由此可得另一个重要的公式。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为贝叶斯(Bayes)公式。,例1： 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑 球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取 一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到 白球的概率。,解：,设A表示“从甲袋中取出一个白球”，,B表示“从乙袋中取出一个白球”，,所以所求概率为,例2：发报台分别以概率0.6和0

22、.4发出信号 及 。 由于通信系统受到干扰，当发出信号 时，收报台 分别以概率0.8及0.2受到信号 及 。又当发出信 号 , 收报台分别以概率0.9及0.1受到信号 及 。 求当收报台受到 时，发报台确系发出信号 的概 率。,解：,设A表示“发报台发出信号 ”，,B表示“收报台收到信号 ”，,则所求的概率为,例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好 时，产品的合格率为98%，而机器发生故障时，其合 格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的 概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整得良好的概率是多少？,解：,设A表示事件“产品合格”，,B表示事件“机器调整良

23、好”。,则所求的概率为,这就是说，当生产出第一件产品是合 格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。 这里，概率 0.95是由以往的数据分析得到 的，叫做先验概率。而在得到信息（即生 产出的第一件产品是合格品）之后再重新 加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率。 有了后验概率我们就能对机器的情况有进 一步的了解。,例4：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验 具有如下的效果：若以A表示事件 “试验反应为阳 性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 现在对自然人群进 行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005， 即 试求,解：,由贝叶斯公式得,说明：,表示试验结果呈阳性的被检查者确实患

24、有癌症 的可能性并不大。,我们还可计算得到：,表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可 能性极大。,例 6 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表

25、示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,例6（续）,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,例6（续）,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,例6（续）,例6（续）,课 外 习 题,第 24 页,11，12，13，,第六节 独立性,我们知道，在一般情况下,但在某些情况下，它们是相等的。,例如：,一口袋中有8只红球和2只白球，从袋中连续地取两次球，每次取一只，然后放回。,若A = “第一次取到白球”，B = “第二次取 到白球”。则,这

26、里，A的发生不影响B发生的概率。,从直观上 讲，这很自然。在这种场合可以说，A与B出现 与否有某种“独立性”。,定义：,设A, B是两事件，如果满足等式,则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。,易证，,则A, B相互独立 与A, B互不相容不能同时成立。,定理1：,设A, B是两事件，则有,定理2：,独立性的推广：,设A, B, C是三个事件，如果满足下列四个等式,则称事件A, B, C相互独立。,更一般地，,如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个 事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积， 则称这n个事件相互独立。,由定义，可以得到以下两个推论：,例1：电路由电池 A, B, C 如

27、 图构成。 设电池 A, B, C 损 坏与否是相互独立且它们损 坏的概率依次为0.3，0.2，0.2。求这电路的可靠性。,A,B,C,电路的可靠性是指电路能正常工作的概率。,解：,设 A, B, C 分别表示电池 A, B, C 正常工作这三事件,D 表示电路正常工作这一事件。,例2：设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1/3 ， 击伤的概率为 1/2 ，击不中的概率为 1/6。并设击伤 两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击 沉潜水艇的概率。,解：,击不沉潜水艇的概率 P =,所以施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率为,例3. 设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只 白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只 白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。 （1）求至少有一只蓝球的概率； （2）求有一只蓝球一只白球的概率。 （3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白 球的概率。,解：,课 外 习 题,第 25 页,15，16，17,