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1、第一章 模糊集合的一般概念,1 序言,模糊数学是研究和处理模糊现象的科学。 模糊现象：大雨、中雨、小雨、多云、 收成好、坏、高个子。 由于历史原因，人们习惯追求精确性，总希望把事物以数字的形式清楚的表达出来。而对模糊现象用传统数学遇到实质性的困难 。,计算机：处理计算、解方程。 处理模糊现象较差。 模糊概念来自模糊现象，模糊性是绝对的、精确性是相对的，精确性是对不精确性的一种分离，这种分离是具有一定意义的，使人们能够对某些事物进行严格定量的表示，建立数学模型。,随着科学的深化，研究对象越来越复杂化，数学模型的复杂化，模糊性逐渐积累，变的不可忽略。精确性和模糊性变成一个突出的矛盾。,加利福尼亚大
2、学L.A.Zadeh(扎德)总结出互克性原理： “随着系统复杂性的增加，我们对其复杂性作出精确而有意义的描述能力相应地降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个相互排斥的特征。”,客观世界的模型 不确定性,集合论由德国数学家Cantor创立，其创造集合论的重要方法之一就是概括原则： 任给一个性质P，便能把所有满足性质P的对象汇在一起，构成一个集合，即：,Cantor集合论要求对象是确定的。要么具有性质P，要么不具有性质P。形成一个二值逻辑。处理没有明确外延的概念，不能构成Cantor集合，没有明确外延的概念就是模糊概念。,例：“秃子悖论” 公设：若具有n(n是任意自然数)
3、根头发的人是秃子，则具有n+1根头发的人亦秃。基于这个公设，可以证明秃头悖论，任何人都是秃头。 证明：采用数学归纳法， （1）仅有一根头发的人自然是秃头； （2） 假设n根头发的人是秃头； （3）由公设便知有n+1根头发的人亦秃； （4）由归纳法原理得出结论：任何人都是秃头。,原因在于：把一个二值逻辑推理用到一个二值逻辑所不能施行的判断上去。 量变蕴涵质变，量变不能用“真”“假”两个字来刻画。“真”1，“假”0，二值逻辑把真假绝对化。对模糊概念用10不够。用1到0连续变化表示真假程度。,Cantor集合：论域U，集合A，元素u,Fuzzy集合：,Fuzzy的发展：1965年，Zadeh提出。应
4、用于理、工、农、医、社会科学。 日本：家电。 中国：理论80年代出引入。1984，85，87，90年在中国举行会议,本课内容：模糊集合的一般概念 模糊关系 模糊关系方程 模糊推理 模糊控制 教材： 模糊集合论及其应用 ，汪培庄,2 普通集合论的回顾,论域：被讨论的全体对象叫做论域。U、 V、X、Y 元素：论域中的每个对象叫元素。u、v、x、y、z 集合：论域中某一部分元素的全体叫做U的一个集合。A、B、C,集合的表示方法： A=u1,u2,un枚举法 A=u| | 后是对u的一种解释。 例： 设A,B是U是的两个集合，若 都有： A叫做B的子集。,若 且 ，则A,B相等，A=B。对 任意集合
5、。 空集：不包含U的任何元素的集合，叫空集： 幂集：U的一切子集所构成的集合类 P(U) 例：U=B,W P(U)=B,W,B,W,定义1.1：设,De-Morgan定律：,集合的性质：,定义 1.2：记 分别称为集合族 的并集与交集。 T=1,2定义1.2同定义1.1 T=1,2nn个集合的并 T=1,2n可数个集合的并 （其中T为指标集）,易证：,若 称集合 单调递增（降）。 记 叫集序列 的极限 。,定义1.3 记 称为B对A的差集，称A减B。,定义1.4 记 称A与B的对称差。,映射：记号f ：UV u | f (u) 表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记 叫 f 的值域
6、。,若f (U)=V 称 f 是从U到V的满射。 若对任意 总有 称f 是单射或一一映射。 若f 既是单射又是满射，则称 f 是从U到V的一一对应。,特征函数：任给 ，确定了从U到0，1的映射 叫A的特征函数。,图.1特征函数图,任一从U到0，1的映射，都唯一确定了一个子集 ： A的特征函数u处的值 叫做u对A的隶属度。,3 模糊子集的定义及运算,定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊子集 ，是指对任意 ,都指定了一个数 ，叫做u 对 的隶属程度。映射 叫做 的隶属函数。,模糊子集完全由其隶属函数所刻画。当 的值域=0，1时。 变成普通集合的特征函数。 蜕变成一个普通子集。 记U上全体模糊
7、子集所构成的类为F(U)，有,当 时， 叫真模糊子集，此时至少存在一元素 ，使 例：U=a, b, c, d, e对每一个元素指定一个隶属度, ， ， ， ， 模糊子集 ，圆块块这一模糊概念在U上的表现:,b,c,d,e,二、模糊集合的表示方法 1)离散的有限集：如,例：设U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 表示“接近5的整数”的模糊子集，则：,2)序偶表示法：如 3) 函数表示法连续情况: 例：以年龄作为论域，取U=0，200，Zadeh给出年轻 和年老 两个模糊集的隶属函数,三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）,例：,集合的运算可扩展到无限个集合：,对一族实数 记,当T为有
8、限集：,在两种情况下： 模糊集的并、交运算一般表示为：,与普通集相比较： 补余律： 在模糊集合中 未必成立。,例：,摩根律： 证明： 因为当 时：,此时 ，故： 若 ，同样成立。,4.模糊集合与普通集合的相互转化,一、截集的定义 模糊子集是通过隶属函数来定义的，如果要问模糊集合由那些元素组成的，必须对隶属度取去一定的阈值。这就引出了截集的概念。,定义（截集）：设 ，对任意 记 叫做 的截集。 是一个普通集合 例： ，,定义（强截集）：设 ，对任意 记 叫做 的强截集。 是一个普通集合,二、截集的性质： 性质1： 证明:,对于无限个集合： 证明：若,性质2：对于 三、分解定理 设 ， 由数 和模
9、糊集 构造一个新的模糊子集，记为 ，其隶属函数规定为： 称 为 与 的数乘。,当AP(U)时， 。而 和截集造成的数乘集合的隶属函数为： 分解定理：设 ，则有,证明：由等式的右边可得： 由截集的定义： 当 从而 故,因此,例 ： 取 截集：,可将 截集写成模糊集合的形式： 关于 的隶属函数都是1，于是,由分解定理，又可构成原来的模糊子集,定义1.8 对任意 ，称 为 的核，称 为 的支集，称supp 为 的边界， 非空，称 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集， 从核扩张为 的支集。,模糊集的隶属函数,一、模糊集的隶属函数的确定方法 隶属函数不唯一，但相似，在实践中不断修正。 推理法 根据模糊集
10、的特性来建立隶属度。 例：设模糊集 ，分别表示等腰三角形，直角三角形，正三角形，试建立 三个模糊集的隶属函数。,解：设，为三内角，设论域 （,）180， 等腰三角形：两内角相等，或为零时为等腰三角形即：（）（）隶属度为 另一极端120，60， 即（）（）60肯定不是，隶属度为,类似 等腰直角三角形 非典型三角形,、模糊统计方法 用试验的方法确定: 模糊集 ，是边界不清晰的模糊集，每次试验对取定 是否隶属于 作出判断，用一个与 相对应，可变的普通集合 相对应， 可能包含 也可能不包含。,随着n的增大，其稳定值可作为 对 的隶属度。,5 模糊集运算的其它定义,我们定义的算子 可一般的表示为 广义的
11、与、或，根据实际情况有些学者又提出了不同的算子，它们适合特定的情况，各有优缺点。 定义：对 定义起并、交运算的一般形式：,）Zadeh算子 ）代数和,）代数积 普通乘法 ）有界和 ）有界差,）有界积 ）强制和,）强制积,6 模糊度、熵不确定性的一种量度,定义1.10 映射 叫做 上的模糊度，如果它满足： 若对任意 有,定义1.11 设 记 有限论域 叫模糊集 的熵，此处 而 是仙农函数 可作为模糊度 满足模糊度的定义。,除满足定义三条要求外，还满足： （4） （5） 证明:（5） （不妨设 ）,7 实数域R上的模糊集,以实数R作为论域时最重要，最常见的情形， 若 称 为模糊分布。 一、 正态型
12、 实际如测量仪表的读数。,二、戒上型,三、戒下型,定义1.12（凸模糊集）： 叫做凸模糊集，如果对任意的实数 都有：,性质1 ： 凸模糊集的截集必是区间。 截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。 证明：设 是凸模糊集，任给 ，若 即 则对任意 有：,从而 。这说明，若两点在 中，则以这两点为端点的整个区间亦被包含在中，因此 只能是一个区间。 反之，设 ，它的任意截集 都是区间。任给 。取 则有 ，因 是区间，故 ， 故 为凸模糊集。,性质2 ， 是凸模糊集，则 也是凸模糊集。 证明：（由性质1）,8 最大隶属原则与模式识别的直接方法,最大隶属原则： 设 若有 使 则认为 相对隶属于,例 三角形识别判断： 等腰三角形 ， 直角三角形 ， 等腰直角三角形 ， 正三角形 ， 非典型的三角形 论域,隶属函数： 1、 2、 3、 4、 5、,例：学生学习质量的判别 学习成绩作为论域 ，学生的学习质量分别为优、良、中、差，它们都是U上的模糊子集，分别用 表示，应用模糊统计结果建立它们的隶属函数,对于n门课程 可令 同理：,例： 设某学生的数、理、化、外成绩分别为86、73、78、90则： 综合成绩为良。,