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1、,第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,设l是xOy平面上以 为始点的一条射线，,一、方向导数,射线l的参数方程为,是与l同方向的单位向量.,设函数z=f(x,y)在点,的某个邻域,内,有定义，,在射线l上任取另一点,且,则,=,如果极限,存在，,则称此极限值为函数,即,方向导数 就是函数f(x,y)在点 处沿方向 l 的变化率.,若函数f(x,y)在点 的偏导数存在，,则按定义得,注,=,=,则,反例：,=,=,=,=,1,按定义得 ：,但是，,=,不存在,反之，,若,则,不一定存在.,存在，,那么，,这就是说，,下面定理就回答了这个问题。,定理 如果函数 f(x,y)在点 可微，
2、那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有,其中 是方向 l 的方向余弦.,证:,按定义得,点 在以 为始点的射线 l 上时，应有,=,=,=,且,按定义得：,例1 求函数 在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.,设方向 l 为向量 的方向，,解:,=,=,，,=,=,与 l 同向的单位向量为,所求方向导数为,，,=,=,，,对于三元函数f(x,y,z)来说，它在空间一点 沿方向 的方向导数定义为,如果函数f(x,y,z)在点 可微，那么它在该点沿着任一方向 的 方向导数都存在，且,=,例2 求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向
3、l的方向 导数，其中l的方向角分别为,解:,=,=,=,又,=,=,=,=,二、梯度,设函数,在平面区域,具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量,这个向量称为函数,在点,的梯度，,，即,或,记作,内,或,Nabla算子,如果函数f(x,y)在点 可微， 是与方向 l 同向的单位向量，则,此时，,的值最大；,即,方向导数,取得最大值，,其值为,注：,梯度也可这样定义,它的模是方向导数的最大值。,梯度是这样一个向量：,z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为,它在xOy平面直角坐标系中的方程为,这条曲线L在xOy平面上的 投影是一条平面
4、曲线,对于曲线 上的一切点，函数z=f(x,y)的函数值都是c， 所以我们称平面曲线 为函数 z=f(x,y) 的等值线.,若 不同时为零，则等值线f(x,y)=c上任一点 处的一个单位法向量为,这表明:,梯度是这样一个向量：,说 明,函数在一点的梯度也可这样定义,类似地，,，即,或,记作,或,Nabla算子,类似地,则可得到:,例3 求,解,=,，,=,例4 设,解,，,，,=,一个数量场可用一个数量函数 来表示.,一个向量场可用一个向量值函数来表示，即,其中P(M)，Q (M) ，R (M)是点 M 的数量函数.,如果与点 相对应的是一个向量 ，则称在 这空间区域 内确定了一个向量场.,(
5、例如温度场、密度场等).,(例如力场、速度场等).,即,简称为势场.,注意,给了一个数量场,它的梯度场,是一个势场.,但是，,是向量场，,任意一个向量场不一定是势场,因为:它不一定是某个数量函数的梯度.,例5 试求数量场 所产生的梯度场，其中常数 为原点O与点M(x,y,z)间的距离.,解,=,类似地，,=,=,=,=,=,(,),=,(,),=,(,),=,=,例6,求函数,在点,沿曲线,在该点的法线,（它与,轴正向夹角为锐角）,的方向导数。,解,在点,曲线,即,令,，,在点,例7,设函数,有连续的偏导数，,且在点,的两个偏导数分别是,则,在点,增加最快的方向是,在点,减少最快的方向是,增加率是,减少率是,，,；,.,，,例7,设函数,有连续的偏导数，,且在点,的两个偏导数分别是,则,在点,增加最快的方向是,在点,减少最快的方向是,增加率是,减少率是,，,；,.,，,例8,设函数,对各变元有连续的,则,偏导数，,例8,设函数,对各变元有连续的,则,偏导数，,例9,求函数,在点,处的梯度及最大方向导数.,解,在点,且其值等于该点的梯度的模,作 业,P108, 1-3,6-8,10,