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1、第三章 微分中值定理与导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 泰勒公式,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,第七节 曲率,第六节 函数图形的描绘,第五节 函数的极值与最大值最小值,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,返回,2004-4-10,一、罗尔(Rolle)定理,费马引理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且,在 处可导，如果对任意的 ，有,那么,证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有,从而当 时，,当 时,根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到,所以,几何解释:,例如,2004-4
2、-10,证,2004-4-10,2004-4-10,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将罗尔定理的条件1.2.换为a,b上可导,结论仍成立.,2004-4-10,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,2004-4-10,返回,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,2004-4-10,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,2004-4-10,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,2004-4-10,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,2004-4-10,拉格朗日中值公式的几种表达形式,推论,2004-4-10,例2,证,2004-4-10,例3,证,由上式得,2004-4-10,返回,三、柯西(Cauchy)中值定理,2004-4-10,几何解释:,证,作辅助函数,2004-4-10,2004-4-10,例4,证,分析:,结论可变形为,2004-4-10,返回,