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1、第三章 矩阵和向量的应用,向量空间,一、向量空间及其子空间,1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即：,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。,例如：,2.子空间：W、V 为 向量空间，若W V，则 称 W 是V 的子空间。,如,都是 的子空间。,例：,只需证明,向量空间的基与维数,定义：,满足,基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。,基为,若向量空间的基为,向量在基下的坐标,注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）,2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。,你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？,详见参考书第
2、59页。,3.向量在一组基下的坐标如何求？,一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。,线性方程组,一、齐次线性方程组,称为齐次线性方程组。,方程组的 矩阵形式,齐次线性方程组解的性质,显然是方程组的解；称为零解。,若非零向量,是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。,性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：,性质2：,令,则V 构成一个向量空间。,称为方程组 的解空间。,这称为方程组的通解。,由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。,则称,也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为：,齐次线性方程组基础解系的求法,1.行最简形矩阵：,
3、设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为：,显然：,行最简形,为：,由自由未知量,惟一确定,从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都 等于 n - r(A).,综上有：,必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。,推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为,例1：求方程组的通解,解：,同解方程组为,基础解系为,通解为,例2：求方程组的通解,同解方程组为,基础解系为：,Ex:,推论2：n 元齐次线性方程组有非零解
4、的充要条件是其系 数行列式为零。,二、非齐次线性方程组,系数矩阵,方程组的 矩阵形式,非齐次 方程组的 导出组,（1）,非齐次线性方程组的有解判定,引 进 向 量,方程组的向量方程,方程组（1）有解,非齐次线性方程组的解法,1.非齐次线性方程组解的性质,性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。,性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。,2.非齐次线性方程组的通解,则非齐次方程组（1）的通解为,定理：,推论：,通解为,例1：求解方程组,有解,同解方程组为,所以 基础解系为,通解为,例2：求方程组的通解,同解方程组为,有解,基础解系为：,
5、非齐次方程组的求解步骤,如何确定？,注意什么？,含参数的方程组,在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即：,一般而言，有两种方法确定参数值。,补充,不再是含参数 的方程组了。,不再是含 参数的方 程组了。,问题：此题能用行列式法求解吗？,不能！,两个关于方程组的问题：,由题设，基础解系只含一个解向量，可取为,（详见参考书第82页。）,（详见参考书第82页。）,向量组的正交性,一、向量的内积：,1.定义1：设有向量,2.向量的单位化,二、向量的夹角：自学。,三、向量的正交性：,1.定义2.,2.定义3.,为正交向量组。,也称为单位正交组或标准正交组。,3.正交向量组的性质,定理:,回忆:如何证明一组向量线性无关?,证:,( i =1,2,m ),问题:线性无关的向量组是否为正交组?,不是 !,四、向量组的正交规范化：,五、正交矩阵：,1.定义4：,2.性质：,3.正交矩阵的判定:,方法一、用定理。 方法二、用定义。,正交,不正交,