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1、6.3 卡尔曼滤波在测量和变形分析中的应用,6.3.1 在测量中的应用,由于卡尔曼滤波是一种较好的动态数据处理方法，它具有以下特点： 对状态向量的估计是LS准则下的最优估计； 算法是递推的，便于计算与编程实现，也可以用硬件设计卡尔曼滤波器； 对动态过程是平稳随机过程的要求不严； 可以进行实时地预测系统的状态，预测时不要求使用全部观测数据，只需要利用部分数据就可以较好地进行预测。,因此卡尔曼滤波在信号处理、组合导航、GPS动态定位、变性分析与预报等领域得到广泛应用，并在应用中不断进行了改进。 卡尔曼滤波在测量上的应用也得到测量学者的广泛研究。比如研究发现测量上各种平差模型都是卡尔曼滤波模型的特例
2、，都可以通过卡尔曼滤波模型推导出来卡尔曼滤波模型可以说是现代测量平差理论的基础。,左图描述了各种平差模型间的相互关系。,卡尔曼滤波在测量上的另一个重要应用是在组合导航问题上的应用。下图描述了组合导航与定位的基本原理。,图中设船在 时刻的状态可以从岸上测定，其状态向量为 ，协方差矩阵为 ，同时还观测了卫星，,观测向量为 ，协方差矩阵为 ， 时刻的状态向量由下列数据模型确定,（6-19）,船的运动模型由下式确定,（6-20）,其中， 表示在 时刻的状态向量。同时在 时刻有如下观测方程,（6-21）,综合以上信息，最优地估计的船的位置就是滤波器要解决的问题。它可以描述为：如何根据历史观测数据和船的运
3、动模型实时估计和预测船在下一时刻的状态。,6.3.2 运动点场的分析与预报,点场是一系列具有共性点的集合。变形监测时，可以认为目标点构成了一组具有运动变化性质的运动点场。运动点场的坐标向量是时间t的函数，它的变化是一个随机过程。点场的运动用下述方程描述,（6-22）,其中， 、 、 为分别描述运动点场在 时刻的位置、速率和加速率的向量。我们用状态向量 或 来表示,（6-23）,速度和加速度向量与位置、时间有如下关系,（6-24）,由式（6-20）至（6-22），可以得到运动点场的状态推估方程如下,（6-25）,其中，I表示单位矩阵，0表示零矩阵。,下面我们考虑运动方程中的噪声模型。状态向量、噪
4、声的选择与所监测的对象和观测频率有关。如果被监测对象的动态性强、变化快，就需要将位置、速率、加速率作为状态向量考虑，这时可考虑如下的噪声模型,由此，式（6-24）就变为,（6-27）,以上各式构成了运动点场的卡尔曼滤波模型。,6.3.3 应用实例,应用卡尔曼滤波的具体步骤如下： （1）根据动态系统的物理特性确定系统的数学模型，包括状态方程，确定状态转换矩阵 、动态噪声矩阵 和观测矩阵 ； （2）利用前三期的观测数据确定滤波的初始值，包括初始状态向量 及其协方差矩阵 ；动态噪声的协方差矩阵 和观测噪声的协方差矩阵 ； （3）卡尔曼滤波递推公式实时估计状态向量及其协方差，单位权方差等信息； （4）
5、当有新的观测数据时，将最前面观测数据删除，将新的观测数据放在序列的后面，再重新进行卡尔曼滤波计算，入戏递推下去，达到自动滤波的目的。,取某高边坡变形观测数据进行卡尔曼滤波数据处理。观测周期为1个月，共有30期数据。采用自适应卡尔曼滤波方差法进行计算。状态向量去单点的三维坐标、三维速率共6个参数。用第一次平差结果作为初始值。设速率参数值为0，方差按下式估计,式中，假定 为任意坐标方向的最大速率。 下表列出其中一点y方向坐标及速率参数滤波估计值及其方差。坐标估计精度为23mm，速率估计精度为23mm。对y坐标进行一步预测，最大预测误差为4mm，平均预测误差为2mm。二步预测时，预测误差为9mm，平均预测误差为3mm。,变形监测点自适应卡尔曼滤波结果,