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1、第三节 曲面方程与曲线方程,一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面,一 、曲面方程,定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给曲面的方程.,三元方程 F(x,y,z)=0,总表示一个空间曲面.,例1 求与定点M0(x0,y0,z0)距离等于R的几何轨迹的方程.,即,两端平方得,表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.,例2 研究方程,所表示的曲面方程的几何特性.,解 原方程配方得,若,记,则所给方程表示以点 半径为R的球面,若,则所给方程化为,这时,即表示一个点 可称
2、其为点球.,若,则所给方程无图形,可称其为虚球.,二、曲线方程,空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设 F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0,为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满足两个曲面方程的点也必定在它们的交线L上.因此空间曲线L的方程可以表示为,常称之为曲线的一般式方程.,三、母线平行与坐标轴的柱面方程,研究方程F(x,y)=0所表示的曲面的几何特性.,在Oxy坐标平面上F(x,y)=0表示一条曲线L;在空间直角坐标系中, F(x,y)=0表示一个曲面.,在(Oxy平面上)曲线L上任取一点M0(x,y,0),过
3、该点作平行于z轴的直线.该直线上任取一点M(x,y,z),则点M的坐标必定满足方程F(x,y)=0.由于M0的任意性可以理解:将上述平行于z轴的直线沿L移动,并始终保持该直线与z轴平行,所得的曲面上的点,必定满足F(x,y)=0.满足这种特性的曲面,称为柱面,相应的平面曲线L称为直线,平行于z轴而沿L移动的直线称为母线.,特别地,如果准线L为Oxy平面上的二次曲线,则称F(x,y)=0为二次柱面,为圆柱面.,为椭圆柱面.,为双曲柱面.,为抛物柱面.,四、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面,若给定Oyz平面上的一条曲线L:,将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为旋转轴.,当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐标满足,由于M0(0,y0,z0)在L上,因此,可得点M的坐标应满足的方程为,为曲线 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.,同理,曲线 绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为,例3 求Oyz平面上的椭圆 绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程.,解 由旋转曲面公式得,