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1、第九章,圆锥曲线与方程,曲线与方程,第55讲,定义法求轨迹方程,已知F1:(x+3)2+y2=1，F2:(x -3)2 +y2=9, 动圆P与F1，F2均外切，求圆心P的轨迹方程.,解析：设P的半径为r. 则由题意有 ， 所以|PF2| - |PF1|= 2 |F1F2|. 由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以F1 , F2 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支. 设双曲线的方程为 ，,则 ，所以 . 故点P的轨迹方程为 (x-1).,在求动点 P 的轨迹方程时，有时可以先根据题中的几何条件，判断出轨迹的形状及位置，再运用待定系数法求方程的特征量，从而求出轨迹方程，这种方法称为定义法.本题在得出
2、|PF2|-|PF1| =2 |F1F2|后，要注意它只表示双曲线的一支.,点评,直接法求轨迹方程,已知动点P到定点F(1，0)和直线x=3 的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.,设点P的坐标为(x , y)， 则 . 当x3时, 方程可化为 , 化简得 y2=4x； 当x3时, 方程可化为 , 化简得 y2= -12(x -4). 故点P的轨迹方程为,如图所示，已知P(4 , 0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.,相关点法求轨迹方程,本题主要考查利用“相关点代入法”求轨迹方程的能力.在此题中，欲求点Q的轨迹方程，应先求点
3、R的轨迹方程，若没有发现这个解题的实质，就会陷入僵局.由此可见，对某些比较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.,点评,1.已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到点Q，使得|PQ|=|PF2|, 那么动点Q的轨迹是 .,圆,解析：因为|PF1|+|PF2|=2a, |PQ|=|PF2|, 所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a, 所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a, 故动点Q的轨迹是圆.,2.已知点M(-3 , 0)、N(3 , 0)
4、、B(1 , 0),圆C与直线MN切于点B，分别过M、N且与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹 方程为 .,3.分别过A1(-1 , 0) , A2(1 , 0) 作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是 .,x2+y2=1,解析：设M(x , y). 因为MA1MA2，所以MA1 MA2=0, 即(x+1 , y) (x -1 , y)=0，得x2+y2=1.,4.已知圆C:(x -1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意一条弦，求弦的中点的轨迹方程.,5.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 =4. 过动点 P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点)，
5、使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程.,解析：以线段O1O2的中点O为原点，线段O1O2所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(-2 , 0) , O2(2 , 0).,由已知|PM|= |PN|，得|PM|2=2|PN|2. 因为两圆的半径均为1， 所以|PO1|2 -1=2(|PO2|2 -1).,设P(x , y)，则(x+2)2+y2 -1=2(x -2)2 +y2 -1, 即(x -6)2+y2=33. 所以动点P的轨迹方程为(x -6)2+y2=33 (或x2+y2 -12x+3=0).,3.定义法求轨迹方程，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质.所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.应用定义法时要特别重视用圆锥曲线的定义判断所求轨迹的类型、位置和形状，可借助圆锥曲线的标准方程，最大限度地减少直接法中化简和整理方程的运算量.,4.代入法中，动点M(x , y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x, y)的坐标，可先用 x , y 来表示 x，y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程.,