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1、第二部分 Petri网的动态性质,提纲,网系统(以原型Petri网为模型)运行过程中的一些性质统称为动态性质(dynamic properties) 或行为性质(behavioral properties) 这些性质同Petri网所模拟的实际系统运行过程中的某些方面的性质有密切的联系,提纲,可达性 有界性和安全性 活性 公平性 持续性,可达性,可达性是Petri网的最基本的动态性质，其余各种性质都要通过可达性来定义 定义2.1. 设PN=(P,T;F,M)为一个Petri网。 如果存在tT，使MtM，则称M为从M直接可达的 如果存在变迁序列t1, t2, t3,tk和标识序列M1,M2, M3
2、,Mk使得 Mt1M1t2M2,Mk-1 tkMk (2.1) 则称Mk为从M可达的 从M可达的一切标识的集合记为R(M)，约定M R(M) 如果记变迁序列t1, t2, t3,tk为，则(2.1)式也可记为M Mk,可达性,设初始标识M0表示系统的初始状态，R(M0)给出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。 定义2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, M0为初始标识。PN的可达标识集R(M0)定义为满足下面两条件的最小集合： （1） M0 R(M0)； （2）若M R(M0)，且存在tT，使得MtM，则M R(M0),可达性,定理2.1. 设PN=(P,T;F, M
3、0)为一个Petri网， M0为初始标识。则： (1) 对任意M R(M0)，都有R(M) R(M0) ； (2) 对任意M1 , M2 R(M0)， R(M1)= R(M2)当且仅当M1 R(M2)且M2 R(M1) 。 证：(1) 由于M R(M0)，所以M R(M): M R(M0) ，从而R(M) R(M0) 。 同理可证(2)。,可达性,定义2.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网，M R(M0)。如果M R(M0)，都有M R(M )，则称M为PN的一个可返回标识或一个家态（home state）。 定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。
4、如果M0是一个家态，则称PN为可逆网系统（reversible net system），或称可回复系统。,网系统家态的存在是一个良好性质，在评测系统性能或在系统模拟过程中具有非常关键的作用。,可达性,推论2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M1 , M2是PN的家态，则 R(M1)= R(M2) 。 证明：因为M1 , M2是PN的家态， 所以首先有M1 R(M0)，M2 R(M0)， 进而M1 R(M2)， M2 R(M1)。 根据定理2.1(2)，则有R(M1)= R(M2)。,有界性和安全性,定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, pP
5、。若存在正整数B, 使得 M R(M0): M(p)B, 则称库所p为有界的(bounded)。并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B(p)。即 B(p)=minB| M R(M0): M(p)B 当B(p)=1时，称库所p为安全的（safe）。 定义2.5. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果每个pP都是有界的，则称PN为有界Petri网。称 B(PN)=maxB(p)| p P 为PN的界。当B(PN)=1时，称PN为安全的。,有界性和安全性,Petri网的有界性（boundedness）反映 被模拟系统运行过程中对有关资源的容量要求,库所p3无界 其它库所的
6、界为1,B(p1) =B(p2) =B(p3)=2 其它库所界为1,有界性和安全性,定理2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。R(M0)为有限集当且仅当PN是有界的。 证：,活性,Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索的需要。 定义2.6. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，tT。如果对任意M R(M0)，都存在M R(M)，使得Mt，则称变迁t为活的。 如果每个tT 都是活的，则称PN为活的Petri网。,2,t1和t2是活的， t3是不活的,不活的,活的,活性,与实际系统中的无死锁概念更
7、为接近的定义。 定义2.7. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， 如果对M R(M0)， 使得 tT：Mt，则称M为PN的一个死标识（dead marking）。如果PN中不存在死标识，则称PN为弱活的（weak live）或者不死的（non-dead）。 定理2.3.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。若PN中有一个变迁是活的，则PN是弱活的。 证：用反证法。假设PN不是弱活的，则必存在一个死标识M R(M0)， 即 tT：Mt。从而不存在M R(M)，使得Mt。即任一个变迁都不是活的，这同假设矛盾。,活性,PN是弱活的，但不是活的,活性,定义2.8.设PN=(
8、P,T;F, M0)为一个Petri网， tT。若 M R(M0)： Mt，则称变迁t为死的。,如果一个Petri网中没有死变迁，那么它是活的吗？是弱活的吗？,？,t3是死变迁,公平性,在Petri网中引入公平性（fairness）概念，旨在讨论网系统中两个变迁的发生之间的相互关系。这种关系反映被模拟系统的各个部分在资源竞争中的无饥饿性问题。 定义2.9. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，t1,t2T。如果存在正整数k，使得 M R(M0) ， T*：M都有 #(, ti) =0#(, t3-i)k, i=1,2 则称变迁t1和t2处于公平关系。 如果PN中
9、任意两个变迁都处于公平关系，则称PN为公平Petri网。其中 #(, ti)表示在序列中ti的出现次数。 如果PN中不存在可发生的无限变迁序列，则网系统总是公平的。,公平性,定义2.10. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，t1,t2T。如果 M R(M0)，都存在正整数k，使得 T*：M都有 #(, ti) =0#(, t3-i)k, i=1,2 则称变迁t1和t2处于弱公平关系。 如果PN中任意两个变迁都处于弱公平关系，则称PN为弱公平Petri网。,t2和 t3是公平关系，也是弱公平关系,t2和 t3是弱公平关系，但不是公平关系,公平性,定理2.4. P
10、etri网中变迁之间的公平关系是一种等价关系 证：公平关系的自反性和对称性是显然的。下面证明其传递性。 设t1和t2处于公平关系，即存在k1，使得 M R(M0) ， T*：M都有 #(, t1) =0#(, t2) k1 #(, t2) =0#(, t1) k1 把写成 = 0 t2 1 t2 2 t2 3 j-1 t2 j, j k1. 显然#(i , t2) =0 设t2和t3处于公平关系，即存在k2，使得 M R(M0) ， T*：M都有 #(, t2) =0#(, t3) k2 #(, t3) =0#(, t2) k2 则由t2和t3的公平关系可知#(i, t3) k2 ， #(,
11、t3) k2(j+1) k2 (k1+1) k. 其中k=maxk2 (k1+1) , k1 (k2+1) 即#(, t1) =0#(, t3) k 同理可证#(, t3) =0#(, t1) k 所以，t1和t3处于公平关系。,持续性,定义2.11.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果对任意 M R(M0) 和任意t1,t2T (t1 t2)，有 ( Mt1 Mt2M) Mt1 则称PN为持续网系统。 定理2.5.设PN=(P,T;F, M0)为一个持续网系统。对于任意 M R(M0)，如果 Mt1 且M， #(, t1) =0，则有Mt1 且Mt1。 证明：对的长度进行数
12、学归纳。,持续性,定理2.6. 设N=(P,T;F)为一个纯网，那么PN =(N, M0)是持续网系统的充要条件 M R(M0) ， t1,t2T (t1 t2)， t1和t2 在M不存在冲突。,持续性,定理2.7. 若N=(P,T;F)为一个T-图，则对N的任意初始标识M0，PN =(N, M0)都是持续网系统。 证明：已知 M R(M0) 和任意t1,t2T (t1 t2)，有( Mt1 Mt2M)。 并且 t1t2 = , t1t2 = 证明Mt1 。,公平性实例,变迁序列： (t1t2t3t4)* k=1 弱公平 非公平，因为若选定某个k, 则只要让p1中存储k+1个token, 就无法满足条件,定理2.5,(1) |sigma|=1, Mt1 且 Mt2, 则根据持续网的定义，Mt1t2且Mt2t1 (2) 假设|sigma|且Mt2, 所以Mt2Msigma t3且Mt2Mt1 ，根据归纳假设，M sigma t3t1, 所以Mt1t2sigma t3 同时，Mt2sigma Mt3, 而根据归纳假设，Mt2sigma t1，所以Mt1,