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1、1,第八章 分离变数法,齐次方程的分离变数法 非齐次振动方程和输运方程 非齐次边界条件的处理 泊松方程 小结(自学),本课程 重点,2,齐次方程的分离变数法,物理问题: 一根长为 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫 外力作用下的振动,定解问题:,一: 引入,3,由力学的知识,两端固定弦的振动会形成驻波:,基本思想： 把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某 些常微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题。 本章中，只考虑本征函数为三角函数的情况。,4,三. 分离变数法求解的基本步骤,第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的常微分方程和附加条件,X(x)：,本征值问题,T(
2、t)：,5,第二步：求本征值和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式,T(t)的表达式,6,这些驻波常称为两端固定弦的本征振动。,这些点是驻波的波节位置，波长为,第三步：得出分离变数形式的本征解,7,第四步: 根据叠加原理求出一般解,8,第五步:利用初始条件求叠加系数, 代入得定解问题的解,利用初始条件得:,9,四. 分离变数法的适用范围： 具有齐次线性泛定方程和齐次边界条件的定解问题。,A 两端均为第一类齐次边界条件,B.两端均为第二类齐次边界条件,C.一段为第一类齐次边界条件,一端第二类齐次边界条件,10,例2 . 第二类其次边界条件的定解问题,两端自由的杆的纵振动的定解问题为,11,
3、由限定条件有 本征值 本征函数,12,合并0，0的结果 将本征值代入T的方程，得 本征解为,13,例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件,细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。 对应的定解问题为,14,设试探解 代入整理后得 求解本征值问题： 代入限制条件：,15,要想非零解，必须 相应本征函数：,16,本征解为： 满足泛定方程和边界条件的一般解为 根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族,17,对解的分析 (1) 基本函数族与边界条件有关 (2) 从解可知，t0时，发散，因果关系：初始条件可推出以后时刻，
4、但不能反推出以前时刻。 例三. 非齐次边界条件情况 对非齐次情况，让尽可能多的边界条件齐次化。,根据：叠加原理 1：热传导问题二维矩形区域一边y=b处处于较高温度U，其余三边x=0,x=a,y=0处于较低温度U0，稳定温度分布，求定解问题,18,由于是稳定场，不含初始条件，泛定方程是Laplace方程,定解问题,19,方法一： 设u(x,y)=v(x,y)+w(x,y) v,w分别满足 泛定方程与齐次边界条件一起作变量分离，用前面同样的方法求本征值本征函数本征解线性组合得一般，再由另外的边界条件确定组合系数。,20,方法二： 考虑到边界条件中有三个都是等于同一值，平移温标 则有 (1) 设 代
5、入得,21,(2) 求解本征值问题，得 本征值 本征函数 (3) 本征值代入Y的方程，得 本征解,(4) 叠加 代入剩余的边界条件,22,23,24,2. 极坐标系中的分离变数法 见书例4：匀强电场中置入 导体圆柱，静电平衡，导 体邻近的静电场不再均匀， 但无限远处仍为匀强电场。 (三维二维)取极坐标系 如图，柱外空间无(自由)电 荷，电势u的分布 导体表面为等势面，且设为零,25,边界为圆形，若直接用分离变数法，对边界条件有 不能由此得到分离的条件。 从对称性出发，选用极坐标系，Laplace方程为 边界条件为 注意到无限远处，仍为匀强电场，取x轴方向为匀强电场的方向，有,26,试探解 代入
6、泛定方程 得 由于有（自然周期条件）,27,自然周期条件与方程一起构成本征值问题。 从自然周期条件得，小于0，零解 本征函数 即,28,本征值代入R的方程得 这是欧拉型常微分方程，作代换? 得 这里，R是t的函数，解为 本征解,29,叠加，得一般解为 考虑条件 ，得 由于傅氏级数等于0，意味着所有傅氏系数为0,30,即 再考虑趋于无穷时的条件有 故有 比较系数得,31,定解问题的解为 解的物理意义 第二项：原来静电场的电势分布。 第三项：静电平衡时感应电荷的影响。 第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未说明导体柱是否带电，故有此项。,32,2. 非齐次振动方程和输运方程,傅立叶
7、级数法 冲量定理法,直接求解非齐次方程的定解问题,把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解问题后求解,适用齐次的边界条件下的非齐次振动和输运问题,33,一. 傅立叶级数法,由于齐次边界条件,分离变数法得到的解具有傅立叶级数表示形式:,其中关于X的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定， 其系数为t的函数.,将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于t的方程,结合 初值条件,求出关于t的解,最后带入试探解可得方程的解. 这种方法就称为傅立叶级数法,1.引入,34,例如求解定解问题 第一步:根据初始条件把所求的解展开为傅立叶级数问题为第二齐次边界条件，故设解为,(1),2. .傅立叶级数
8、法的步骤,35,比较系数得 的二阶线性常微分方程:,第二步:分离出关于T的常微分方程并得出初始条件,36,把(1)代入初始条件:,得到关于 初始条件:,37,结合初始条件和常微分方程可得通解:,当 时,当 时,当 时,第三步:求出关于T的常微分方程的通解始条件,38,所求的解为:,第四步:叠加求出定解问题的解,39,注意: 1.关键是分离出 的常微分方程. 2.傅立叶级数数法要求：非齐次泛定方程可以分 离，且有可分离的齐次边界条件。 3. 试探解的级数形式由边界条件确定. 4. 傅立叶级数法结合分离变数法可以解决齐次边界条件的振动和输运问题.,40,练习1.使用分离变量法求解定解问题,41,二
9、. 冲量定理法,用冲量定理法可以解决齐次边界条件的振动和输运问题:,利用叠加原理， v,w所满足的定解问题相对得到简化，以达到我们会求相应解的目的,引入:,如可以把问题:,42,转化为:,进而来求解.,关于 的解,可以用分离变数法求出,求出 ,则该问题 解决.求出 的方法可用冲量定理法,43,冲量定理法的物理思想: 把连续力的作用视为瞬时力的作用的叠加。 而任何一个瞬时力的作用引起的振动的定解问题为 该作用时间很短，来不及使各质点发生位移，只会引起速度的改变，可由冲量定理得出，而在此以前无作用，弦仍处于静止状态。因此,44,冲量对弦的作用可视为动量的改变 即 则 时刻后的振动 满足的定解问题为
10、 即将瞬时力作用等价为初始条件,45,取 则v满足的定解问题为 即等价为,将 时刻记为 时刻,46,由叠加原理知 这种方法源于冲量定理，故称“冲量定理法”： 即将瞬时力的作用转化为初始条件来考虑。 关于冲量定理法的数学验证（P209）自学。,47,冲量定理法的步骤 定解问题 解: 用冲量定理法，有方程,48,v的余弦级数展开式为,利用分离变数法得到T解,把原来的t换为 。,49,比较系数得 其余的均为0，因此,式中系数由初始条件确定,50,积分求解:,51,注意: 冲量定理法的前提是初始时刻的值为零 冲量定理法对齐次边界条件都成立(第一、二、三边界条件) 冲量定理法的步骤: 一:改写方程(齐次化,时间初始时刻变为 时刻) 二:求解此方程(系数含 ,时间替换为 ) 三:积分求解,52,对于输运定解问题:,可假定 得到v的定解问题为,53,由于是瞬时热源，可视为初始条件，即v满足的定解问题 转化为,用同样的方法和步骤，求出所求定解问题的解。,54,作业 P215：2,5,