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1、第八章 定积分的概念及应用,第一节 定积分的元素法,第二节 平面图形的面积,第三节 体积,高等数学电子教案 西电,第四节 平面曲线弧长,第五节 功、水压力和引力,第六节 平均值,习题课,高等数学电子教案 西电,教师：任春丽,为了说明小元素法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。,step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间,step2. 近似：,第一节 定积分的元素法(或微元法),微元法,step3. 求和：,step4. 取极限：,分析：,在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具有可加性，,3。,实际上
2、，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：,微元法,step1:选取积分变量及积分区间 （如x属于a,b）,step2:取微区间x, x+dx 求出,step3:,这种方法称为定积分的元素法或微元法。,微元法,一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:,1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；,2。Q对于a,b区间具有可加性；,3。局部量,那么，将Q用积分来表达的步骤如下:,step1. 选取积分变量及积分区间,step2. 取微区间x,x+dx，求出,step3.,微元法,例1.,写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式,任一点的线密度是长度的函数。,解:建立坐标
3、如图,o,x,l,x,x+dx,则任意一点的密度为,step1.,step2.,step3.,下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 一些应用。,微元法,定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用非常广泛。本章主要介 绍几何上、物理上实际问题的应用，例如：计算平面 图形面积、曲线弧长、旋转体体积、引力、做功等。,基本思想：,实际问题所求量Q,转化为,求Q=,(积分模型),转化方法：,元素法（或微元法），即从局部到整体,微元法,一. 直角坐标系情况,所围图形面积，如图:,解: 1。画图，求出交点；,2。选积分变量，,3。,4。,特别的:,曲边梯形面积,第二节 平面图形的
4、面积,第二节 平面图形的面积,例1.,解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9),例2.,解: 画图，求得交点(2,-2)及(8,4),选为积分变量，则,问:若选x为积分变量如何？,第二节 平面图形的面积,二.参数方程情况,例3.,解: 由对称性,一般的，,第二节 平面图形的面积,例4.,解:,第二节 平面图形的面积,三.极坐标情况,解: 1。,2。,3。,第二节 平面图形的面积,例5.,解:,另解:,第二节 平面图形的面积,一.旋转体的体积,定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周 而成的立体，叫旋转体。,第三节 体积,第三节 体积,以上旋转体的体积在中学已经会计算，下面讨论 一般的旋
5、转体的体积。,例1.,解: 1。,2。,3。,下面将结论推广:,第三节 体积,如图:,类似的，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的,y=f(x),y=g(x),第三节 体积,例2.,解: (1) 绕x轴,(2)绕y轴,第三节 体积,例3.,解: (1) 绕x轴旋转,第三节 体积,(2) 绕y轴旋转,第三节 体积,(2) 绕y=2a旋转,所求体积即是中间喇叭状的体积,第三节 体积,二.平行截面面积为已知的立体体积,如图，,解: 1。,2。,3。,第三节 体积,例4.,解: 建立坐标如图，,第三节 体积,一、曲线弧长概念,（1）分割:,（2）近似:,（3）求和: 总弧长,（4）取极限: 若极限,图1
6、,第四节 平面曲线的弧长,第四节 弧长,二、直角坐标情况,解:（图一）,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,解：,第四节 弧长,三、参数方程情况,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,四、极坐标情况,第四节 弧长,解:,第四节 弧长,一、变力沿直线所作的功,例1:,第五节 功、水压力和引力,第五节 功 水压力和引力,解:,a处的电位（场强）,称为电场在,第五节 功 水压力和引力,例2:,解: 建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,注:若建立坐标如右图， 则计算较烦,第五节 功 水压力和引力,二、水压力（液体的侧压力）,解:,第五节 功 水压力和引力,例3:,解: 建立坐标如图,第五节 功 水压力和
7、引力,例4: 若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？,解: 建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,第五节 功 水压力和引力,三、 引力,例5:,第五节 功 水压力和引力,解: 建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,一、函数的平均值,例:,解:,第六节 平均值,第六节 平均值,二、均方根,定义: 函数平方的平均值的开方成为均方根。,如:,例如: 非恒定电流的电器上标明的电流值就是指电 流的均方根。,第六节 平均值,例:,解:,第六节 平均值,小结:,1、几何应用: 面积,旋转体,已知平面截 面立体体积,平面曲线弧长,2、物理应用: 做功,侧压力,引力,3、平均值,均方根,定积分习题课,定积分
8、习题课,例1:,解: 画图，求出交点,定积分习题课,例2:,解:,定积分习题课,例3:,解:,定积分习题课,定积分习题课,例4:,解:,方法一:,定积分习题课,方法二:,定积分习题课,例5:,解:,定积分习题课,例6:,解:,定积分习题课,例7:,解: 建立坐标如图,定积分习题课,方向: 指向圆弧中点,定积分习题课,例8: 洒水车上水箱是一横放的椭圆柱体（如图）， 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的 压力。,解: 取截面,建立坐标如图,定积分习题课,定积分习题课,例9: 半径为r的球沉入水中,球的上部与水相切,球 的比重与水相同。现将球从水中取出,需做功?,解: 建立坐标如图,定积分习题课,例10:,解:,定积分习题课,定积分习题课,例11:,解:,定积分习题课,教师：任春丽,