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1、第八章 弹性体的应力和应变,这一章将考虑物体的形变，弹性体是研究形变 的一个理想模型，它假设物体受外力发生的形变在 外力撤消后能够消失。研究弹性体的力学称弹性力 学，弹性力学将弹性体看作是连续介质，所以也叫 连续介质力学。 弹性体的形变有四种：拉伸压缩、剪切、扭转 和弯曲，其中最基本的是拉伸压缩和剪切。,8.1 弹性体的拉伸和压缩,.2 弹性体的剪切形变,8.3 弯曲和扭转,8.1 弹性体的拉伸和压缩,1. 外力、内力和应力,研究横截面远小于长度的直 杆。其假想横截面上的应力为,式中Fn表示内力在外法向方向上的 投影，S表示横截面积。 0为拉 伸应力， 0为压缩应力。,例题薄壁圆柱形容 器壁内
2、的应力。,解 按平衡条件,得到应力,2. 直杆的线应变,设直杆原长和形变后的长度分别为l和l， 则线应变,设直杆横截面是正方形，每边长b，横向 形变后边长为b，则横向应变为,横向应变与纵向应变之比的绝对值称为泊松系数,3. 胡克定律,胡克（. Hook） 于1678年由实验得出,这就是胡克定律。 它也可写为,式中为杨氏模量。,应当注意，仅当形变很小时，应力应变才服从胡克定律。,拉伸和压缩的形变势能,弹性势能等于自势能零点开始保守力做功的负值。 外力拉压杆件时，外力的功与弹性体反抗形变而施于外 界的力所做的功大小相等符号相反。因此，弹性势能等 于自势能零点开始外力做功的正值。,若取未变形时未势能
3、零点，则外力的功等于形变达到时 的势能，即,若杆的形变是均匀的，有弹性势能密度,.2 弹性体的剪切形变,1. 剪切形变剪切应力与应变,剪切形变：物体受到力偶的作用使物体两个平行截面 发生相对平行移动。,设作用于两假想截面上的力偶为和， 则剪切应力为,剪切应力互等定律： 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线 的剪切应力是相等的。,剪切应变： 平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比。,式中 为切变角。,2. 剪切形变的胡克定律,实验表明，若形变在一定限度内， 剪切应力与剪切应变成正比,对于各向同性的、均匀的弹性体，有,这可由图8.8加以说明。,剪切形变的弹性势能密度为,式中 为剪切模量
4、,8.3 弯曲和扭转,1. 梁的弯曲,梁弯曲的原因：图8.9 说明梁弯曲 的原因是力偶作用的结果。,梁弯曲的特点：存在一个中性层， 中性层以上受压，中性层以下受拉。 利用中性层的半径或曲率可以 描述纯弯曲形变,式中表示加于梁的 力偶矩，b 为梁的 宽度，h 为梁的高 度。,2. 杆的扭转,杆扭转的原因：杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上 大小相等方向相反的力矩。,杆扭转形变的实质上是由剪切形变组成的。（见图8.12）,在微小形变的条件下，狭长体元的剪切应变等于,由剪切形变的胡克定律 ,可知外层所受剪切应力 比内层大。还可以算出,式中和l分别表示圆柱 体的半径和长度， 为 扭转角， 称为扭转系数。,