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1、1,第八章 期权的损益及二叉树模型,2,目录,以债券为标的资产的期权定价二叉树模型 期权定价的二叉树模型 n期欧式期权的定价模型 存在交易费用的期权定价二叉树模型,3,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 概述 就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态的变化规律相反. 股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉。债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值。 多数债券有票息支付。,4,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 概述 例 设债券面值为D，每半年支付票息C， 为半年后的半年期利率。n年到期。 如果给定利率期限结构可以给债券定价。如果已知半
2、年期利率变化模型，如何给出债券的价格树以及期权价格。 把债券看成面值与票息分离的债券，现金流相当于2n份面值为C和一份面值为D的零息债券。对每一零息债券，可以通过利率期限结构和半年期利率树求出相应债券的价格和价格树。,5,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 例,6,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 债券价格树的构造 风险中性方法 例 半年期利率为3.99%,一年期利率为4.16%，一年半期利率为4.33%，半年期的利率树为,3.99%,4.5%,4%,4.9%,4.3%,3.9%,7,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券
3、价格的二叉树模型 债券价格树的构造 风险中性方法 例 价格树。,8,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 债券价格树的构造 风险中性方法 例 设 是利率上升状态的概率， 是利率下降状态的概率。 满足 称此概率为风险中性概率。,9,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 债券价格树的构造 风险中性方法 例 一年半期的债券的价格树为 假设利率处于上升状态再上升的概率和处于下降状态再上升的 概率相等。,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 债券价格树的构造 风险中性方法 由风险中性方法，得到风险中性概率序列，利用它和利
4、率树可以对市场上的任何一种债券合理定价。,11,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格树的构造 利率期限结构模型方法 固定半年期利率,在下一期以同样的概率分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期利率值，从而构成一个利率树。（非风险中性概率） 用所得到的利率树对债券未来的价值折现就可得到债券的价格。 例 半年期利率3.99%,一年期利率4.16%，一年半期利率4.33%。 应用Salomon-Brothers模型得到时间为一年半的半年期利率树和一年半期零息债券价格树。,12,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格树的构造 利率期限结构模型方法 例 一年期的半年
5、期利率树和一年期零息债券价格树。,3.99%,4.69740%,3.96420%,1/2,1/2,95.9663,97.7068,98.0564,100,100,100,13,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格树的构造 利率期限结构模型方法 例 一年半期的半年期利率树和一年半期的零息债券价格树。,3.99%,4.69740%,3.96420%,5.49723%,4.63919%,3.91507%,14,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格树的构造 利率期限结构模型方法 例 一年半期的半年期利率树和一年半的期的零息债券价格树。,93.7764,95.2909,9
6、6.0036,97.3249,97.7330,98.0800,100,100,100,100,15,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格树的构造 利率期限结构模型方法 设利率变化过程用二叉树表示,若初始利率为 ，利用利率期限 结构定价方法，利率在第二期以1/2 的概率上升到 ，以 1/2 的概率下 降到 。 债券价格的递推公式为：,16,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 利率期限结构模型方法 例 8-8 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到8.5%。同时假设债券的面值D=100在一年期半内每半年支付
7、的红利10, 而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券的价格。,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,债券价格的二叉树模型 利率期限结构模型方法 例,18,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,以债券为标的资产的期权定价 上例中债券为标的资产、执行价X=100的看涨期权, 在t时期市场上价格为 。,19,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,以债券为标的资产的期权定价 构造一个无风险套期保值债券组合。购买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看涨期权）。 若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付（收益）是一样的。 设看涨期权在t期执行，则此债券组合在t+1
8、期时两个状态的收益相等 。,20,以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,以债券为标的资产的期权定价 由于是无风险债券组合，故有 其中 为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：,21,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的股票价格只取两种可能的值。,其中， 为无风险利率。,22,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型。 例 股票价格如下。 说明： 必须成立，否则可能出现
9、套利机会。,23,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型。 例,24,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型。 例 构造无风险套期保值的证券组合。购买一份股票，卖掉m份期权。证券组合的价值是,25,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合条件， (m称为套期保值率hedge ratio)。 由于所构造的证券组合是无风险证券组
10、合，,26,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 令 p称为套期保值概率。 事实上,若投资者是风险中性，则 所以通常也称p为风险中性概率,27,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： P称为风险中性概率。 在风险中性概率下，期权的价格是其收益期望值的折现。,28,期权定价的二叉树模型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。,29,期权定价的二叉树模型,
11、期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。 注1. 套期保值证券组合所需要的投资 19.13, 在期末所得到的无风险收益为22。 注2. 此套期保值的证券组合为买一份股票,卖一份看涨期权. 注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r. 注4. 期权的价值依赖于所构造的套期保值的证券组合, 期权的定价是要使此套期保值组合获得无风险回报率。 如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合的收益率比无风险收益率高(或低),无风险套利机会就存在。,30,期权定价的二叉树模
12、型,期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 期权定价公式三个有趣的性质： 期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资者对股票上升的概率有不同的判断,但他只能接受与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票价格本身是引起投资者对q的不同判断的根源。 投资者对风险的态度与期权定价公式无关。 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。,31,期权定价的二叉树模型,期权定价的二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投资到二期后有 元，设股票的初始价格为S。,32,期权定价的二叉树模型,期权定价的二期模型 以该股票为标的的二期看涨期权的价值。,3
13、3,期权定价的二叉树模型,期权定价的二期模型 期权的价值等于在风险中性概率下二期收益的期望值折现。,34,n期欧式期权的定价模型,二项式及二项分布 二项式试验 (Binomial trials)：称试验结果只有两个的试验为二项式试验。 如在抛硬币试验中，可能出现的结果只有两个：正面和反面。设抛硬币时出现正面的概率为p，出现反面的概率为1-p. 在n次试验中, 出现k次正面的概率为 。,35,n期欧式期权的定价模型,n 期欧式看涨期权的定价公式 n 期欧式看涨期权取值的结果及对应概率。,36,n期欧式期权的定价模型,n 期欧式看涨期权的定价公式 当 设a是使看涨期权收益为正的最小的正整数，即当,
14、37,n期欧式期权的定价模型,n 期欧式看涨期权的定价公式 在n期模型中， 和 是互补事件的概率， 是看涨期权价值为正的累积概率。 令,38,n期欧式期权的定价模型,n 期欧式看涨期权的定价公式 分析结果 期权的价值随着股票的价格上涨， 而当执行价格升高时,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期权到期期限n、 二项分布的方差 都影响期权的价值. 当无风险利率上升时,它降低执行价格的折现值 。尽管随着r的上升引起p和p的变化，但还是提高了看涨期权价值。 增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加的正收益的
15、项数,且二项分布收益的期望值也随着 np 的增加而增加。(美式，欧式在到期日执行) 看涨期权价值随着二项分布方差 np(1-p) 增加而增加。,39,n期欧式期权的定价模型,不可重合的二叉树模型。（考虑交易费用） 不存在交易费用的期权二叉树定价问题,40,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 无风险回报率 排除套利机会，满足。 构造在 时刻的证券组合，设在无风险证券的投资为 ，在股票投资为 。 证券组合价值为 在 时刻价值为 市场为自融资的。,交易前,交易后,41,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 二叉树期权定价理论的基本思想是构造一个自融资组合
16、，复制k=2时的期权收入，这个自融资的组合的初始投资就是期权的公平价。 设期权到期价值为：,42,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 对于复制期权的证券组合（二期末） 得,43,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 在 t=1 时刻证券组合的价值 或 令 则,44,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 在条件 下， 的折现率 的期望值是 ，符合鞅的性质，故称 为鞅侧度。 同理，可以确定 。,45,n期欧式期权的定价模型,不存在交易费用的期权二叉树定价问题 下面推导如何用 确定 的价值，即期权的初始价值 由类似推导过程，得到鞅测
17、度 。,46,n期欧式期权的定价模型,存在交易费用的期权二叉树定价问题 分别表示股票数和银行的存款， 表示不存在交易费用模型中所对应的量，其中 为交易费用的比例（买入和卖出金融产品的交易费用都一样），而且在k=2时结算，即兑换出证券组合（支付费用），且支付期权的价值 h(S(2)。当k=2时，设,因为 不妨设,47,n期欧式期权的定价模型,存在交易费用的期权二叉树定价问题 当 S (1)= S11时证券组合 由于若k=2时，变为S21，有 所以,48,n期欧式期权的定价模型,存在交易费用的期权二叉树定价问题 当 S(1)= S12 时，证券组合的确定,式中，,49,n期欧式期权的定价模型,存在交易费用的期权二叉树定价问题 为了其价值等于 , 则必须有,要构造这个证券组合需要资金,是这个期权购买者所需要的值。,