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1、第八章 模糊模式识别,8-1、模糊集的基本概念 1965年美国加利福尼亚大学L.A. Zadeh.”教授首次发表“Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。 模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老” 一、模糊集的定义：假设论域E=x（讨论的区间），模糊集A是由隶属函数A(x)描述。 A(x)是定义在E上在闭区间0，1中取值的一个函数，反映x对模糊集的隶属程度。 则A(x)描述了E中的一个模糊子集A。,二、模糊集A 的台：是E中能使A(x)0的元素集合。 模糊独点集：它的台只含元素x1，而(x1)=1，则记为
2、：A 1/x1（独点集） 若A是有限的台(x1,x2,xn)而(xi)=i 则A= 1/x1+ 2/x2+ n/xn= , i为隶属函数,xi为元素 若A是无限的台则有无限元素 则,例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图） E=(a,b,c,d,e, f） (a)=1, (b)=0.9, (c)=0.4, (d)=0.2, (e)= (f)=0,三、用水平集来划分模糊集 设:A为E=（x）中的模糊集 则A=x| A(x)称为模糊集A的水平集， 为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分） A为有限个台时，水平集为 A为无限个台时，水平集为 例：关于
3、“年青”的模糊集为E=A50, A45, A40 ,A35, A30, A25 E中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25, =0.1水平集:A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/ A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25 =0.3水平集:A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/ A30 +0.3 / A25 =0.5水平集:A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 / A25 不同的有不同的模糊集 A0.1 =A45, A40 ,A35, A30
4、, A25 A0.3 =A40 ,A35, A30, A25 A0.5 =A35, A30, A25 A0.9 =A30, A25,8-2、模糊集的简单运算及模糊关系 一、并集、交集、补集 设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们的并集AB、交集AB、及A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为： 并集:A B(x)max(A(x) ,B(x) 交集: A B(x)min(A(x) ,B(x) 补集: =1- B(x) , A(x) ,B(x) 分别为A、B的隶属函数,例、模糊集 A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 B=0.4 / x1
5、 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5 则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5 =0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5 =0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 =0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5,二、距离的定义： 若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元素 则A,B的线性距离为: A,B的欧氏距离为 我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。
6、,三、模糊关系： 设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为：UV=(u,v)|uU,vV, (u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制， U,V间的这种特殊关系叫模糊关系R。 （模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的） 隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度 例： u为身高， v为体重 u=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m） v = (40,50,60,70,80) （单位kg）,模糊矩阵（模糊关系）,模糊关系为：,这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。,四、复合矩阵 设： 例：,相乘时取最小，相加时取最大。,
7、五、模糊关系的性质 1、自反性：对EE中的模糊关系 ， 为 内的元素,若 成立，则 有自反性。 2、对称性：若对(x,y)EE都有 则 有对称性。矩阵对角线元素对称， ij= ji。,具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系） 3、传递性:若矩阵 中 有: 具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。,8-3、模糊识别方法,、隶属原则识别法 设： A1, A2,. ,An是E中的n个模糊子集， x0为E中的一个元素，若有隶属函数 i(xo) =max(1(xo), 2(xo), n(xo),则xo i。 则xoAi 若有了隶属函数 (x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。
8、此法的关键是求隶属函数,二、择近原则识别法 1、定义：两个模糊子集间的贴近度 设：A，B为E上的两个模糊集。则它的贴近度为：,例：E=(a,b,c,d,e,f),2、设：E上有n个模糊子集 及另一模糊子集 。若贴近度,三、模糊聚类分析：,基于模糊等价关系的聚类方法 设： 是E上一个模糊关系，若满足： （a）、自反性：ij1 （b）、对称性： ij ji （c）、传递性： 则称 是E上一个模糊等价关系。,定理：若 是E上的一个等价关系。则对任意阈值(0 1)则模糊水平集R 也是E上的一个等价关系。 水平集： R =x| A(x) 例：利用水平集可以聚类 设X x1、x2、x3、x4、 x5 ,可
9、以证明 是一个模糊等价关系 水平集为： 把x聚为一类 x聚为二类即x1,x3,x4, x5 x2,x分为三类即x1, x3 x2, x4, x5 x分为四类即x1, x3 x2 x4 x5 ,x分为五类即x1 x2 x3 x4 x5 聚类图： x1 x2 x3 x4 x5,模糊聚类算法： 设x是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系 。它满足自反性、对称性，即：ij1，ij ji 此模糊关系为相似关系。 把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为： 取 的乘幂为 （三）选择适当值，取等价关系R的水平集，根据水平集确定样本的类别。,例：设Xx1,x2,x5五个人的集合。x1为父亲，x2为儿子，x3为女儿，x4为叔叔，x5为母亲，x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。,其中ij表示第i个人xi与第j个人xj的面貌相似程度。 它满足自反性ii1， 、对称性 ij ji，但是不满足传递性。 是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。,应分类为： x1,x2, x3, x5 ,x4 ,应分类为： x1,x2,x3, x5 ,x4 ,应分类为： x1,x2,x3, x5 ,x4 ,聚类图,求模糊等价关系的算法,设： 为相似关系，,