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1、第7章 应力应变分析与强度理论,7.1 应力状态的概念 7.2 平面应力状态分析的解析法 7.3 平面应力状态分析的图解法 7.4 三向应力状态简介 7.5 平面应力状态的应变分析 7.6 广义胡克定律 7.7 强度理论概述 7.8 四个常用的强度理论 7.9 莫尔强度理论,7.1 应力状态的概念,受力物体内一点各个斜面上的应力变化情况，亦即一点的应力状态。,7.1.1 一点的应力状态,轴向拉压杆件，斜截面上的正应力和切应力分别为,任一横截面上各点的应力分布情况,(1) 随点在截面上的位置不同而变化,(2) 同一点不同方向上的应力情况,7.1 应力状态的概念,为了研究受力杆件内一点的应力状态，
2、围绕该点切取一个“宏观上无限小，微观上无限大”的单元体,如果单元体各面上的应力已知，则该点任意方向的应力都可由此计算出来。这样切取的单元体称为原始应力单元体。,7.1.2 原始应力单元体,7.1 应力状态的概念,2. 扭转杆件中的应力单元体,1. 拉压杆件中的应力单元体,7.1 应力状态的概念,3. 平面弯曲杆件中的应力单元体,7.1 应力状态的概念,4. 受内压薄壁容器中的应力单元体,1) 横截面上的正应力,轴线方向的平衡方程,2) 容器环向的正应力,铅垂方向的平衡方程,7.1 应力状态的概念,5. 车轮与钢轨接触点处的应力单元体,7.1 应力状态的概念,1. 主平面,7.1.3 主平面 主
3、应力 主单元体,在单元体上，切应力等于零的平面,2. 主应力,主平面上的正应力,3. 主单元体,各个面都是主平面的单元体,主应力通常用s1、 s2 和 s3 表示，它们的顺序按代数值大小排列，即 。,7.1 应力状态的概念,1. 单向应力状态,7.1.4 应力状态的分类,三个主应力中，只有一个不等于零,2. 二向应力状态,有两个应力不等于零,3. 三向应力状态,三个主应力都不等于零,(简单应力状态 ),(复杂应力状态 ),(复杂应力状态 ),7.2 平面应力状态分析的解析法,求任意斜面ef上的应力,7.2.1 斜面上的应力,平面应力状态下的应力单元体,规定正应力以拉伸为正，切应力以使单元体有顺
4、钟向转动趋势时为正。,斜面方位角 ，并规定自x轴正向逆钟向转至斜面外法线方向所形成的角为正。,沿斜面法向n和切向t的平衡方程,三角形微体ebf为研究对象,7.2 平面应力状态分析的解析法,注意到 ，得,得极值条件为,正应力是求极值,7.2 平面应力状态分析的解析法,(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的平面，即主平面。,7.2.2 主应力 主方向,一、主应力,(2) 极值正应力就是主应力。,三、最大、最小正应力,主方向角,7.2 平面应力状态分析的解析法,二、主方向,从同一点所切取的不同方位的应力单元体，其互相垂直面上的正应力之和是一个常量，称为应力不变量。,四、应力不变量,得,7
5、.2 平面应力状态分析的解析法,二、最大、最小切应力,7.2.3 极值切应力及其作用面,一、极值切应力方位角,极值切应力等于极值正应力差的一半。,则,7.2 平面应力状态分析的解析法,所以,注意到,即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为,三、极值切应力和主平面夹角,7.2 平面应力状态分析的解析法,例7-1 图7-8a所示圆截面杆同时承受扭转和拉伸变形，已知杆的直径 ,扭转力偶矩 ,轴向载荷 。试求：(1) 杆件表面上K点处图示斜面上的应力。(2) K点处的主应力及主方向。,解 (1) 取应力单元体,7.2 平面应力状态分析的解析法,(2) 求斜面上的应力,代入,K点处图示斜面上的正应力和
6、切应力分别为,7.2 平面应力状态分析的解析法,(3) 确定主应力和主方向,最大、最小正应力为,K点处的三个主应力分别为,主方向角,一个主应力,7.2 平面应力状态分析的解析法,例7-2 低碳钢和铸铁扭转试件的破坏断口分别如图7-9a、b所示。低碳钢试件沿横截面破坏，铸铁试件沿与轴线成 角的螺旋面破坏。试分析其破坏原因。,解 (1) 取应力单元体,(2)极值应力,a) 正应力最大和最小值,b) 切应力最大和最小值,和,7.3 平面应力状态分析的图解法,圆上任一点的横坐标和纵坐标,分别代表单元体相应面上的正应力和切应力,此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)圆。,7.3.1 应力圆方程,斜面应力计
7、算公式,二式各自平方后再相加,7.3 平面应力状态分析的图解法,(2)连接Dx和Dy两点,与横轴交于C点, C为应力圆的圆心。,7.3.2 应力圆的画法,(1)建立坐标系，按选定的比例尺，量取OG=x，GDx=xy，确定Dx点,类似地,确定Dy点 。,(3)以C为圆心，以 为半径作圆，与横轴分别交于A、B两点，即为相应的应力圆。,C点坐标,7.3 平面应力状态分析的图解法,将半径 沿方位角 的转向旋转 至CE处，所得E点的横坐标OF和纵坐标FE 即分别代表面上的正应力和切应力,7.3.3 应力圆的应用,1. 求任意斜面上的应力,证明 :,则,令圆心角,同理,7.3 平面应力状态分析的图解法,应
8、力圆上A点的横坐标代表max,2. 确定主应力和主方向,同理, B点的横坐标代表min,方位角 ,从 开始，顺钟向转到 ,即得 角。,类似地可以确定min作用面的方位角。,单元体的主单元体的方位如图所示。,7.3 平面应力状态分析的图解法,应力圆上K和L两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力。,3. 确定极值切应力及其作用面,在应力圆上，从 到 所对圆心角为逆钟向的/2；在单元体中，从max所在主平面的法线到max所在平面的法线应为逆钟向的/4。,和 都是应力圆的半径,7.3 平面应力状态分析的图解法,(1) 单元体每个面上的应力都可以在应力圆上找到相应的位置。,4. 应力圆与单元体的点-面对应
9、关系,(2) 当单元体上斜面A和斜面B的夹角为 时，应力圆上相应点a和b所对应的圆心角为 ，且两角的转向相同。,7.3 平面应力状态分析的图解法,(3) 围绕一点的单元体面上的应力随单元体切取方位的不同而各异，但其应力圆是唯一的。,a) 受扭圆轴表面K点切取应力单元体,可以得到应力圆上的C、D点,b) 根据45面切取的应力单元体,可以得到应力圆上的A、B点,7.3 平面应力状态分析的图解法,例7-3 试用图解法求解图7-13a所示应力单元体的主应力，并确定主平面的方位。,解 (1) 画应力圆,选取比例尺,在- 坐标系中定出D1, D2点,以 为直径绘出的圆就是所要作的应力圆。,7.3 平面应力
10、状态分析的图解法,(2)求主应力,(3)主平面的方位,主平面的法线与x轴间的夹角,主应力3所在的主平面与1所在的主平面垂直。,在应力圆上,与x面对应的点为D1,与主应力1所在主平面对应的点为A1,7.4 三向应力状态简介,在坐标平面中，必位于由1和2所确定的应力圆上 。,7.4.1 三向应力圆,主应力单元体,与3平行的斜面m-m上的应力仅与1和2有关，而与3无关。,同理，与主应力2 (或1)平行的各斜面的应力，则位于由1与3(或2与3)所确定的应力圆上。,这样组成的三个应力圆称为三向应力圆。,与三个主应力都不平行的任意斜面ABC上的应力,、分别代表斜面ABC的外法向与1、2、3方向的夹角。,斜
11、面上的应力对应的点K(n ,n)，位于三向应力圆的大圆之内，两小圆之外的区域内。,7.4 三向应力状态简介,7.4 三向应力状态简介,(2)切应力,7.4.2 最大与最小正应力和切应力,(1)正应力,a)平行于 的所在斜面上,b)平行于 的所在斜面上,c)平行于 的所在斜面上,其所在平面与 和 所在主平面成,7.4 三向应力状态简介,例7-4 试画出图7-17a所示应力状态的三向应力圆，并求该点的三个主应力及最大切应力。,解 (1) 画三向应力圆,确定A (80,35)点和B (20, -35)点,以AB为直径画圆得两个主应力,取E(-40, 0)以对应主平面z上的应力。,分别以ED和EC为直
12、径画圆，即得三向应力圆。,7.4 三向应力状态简介,(2) 主应力与最大应力,三个主应力分别为,最大正应力与最大切应力分别为,7.5 平面应力状态的应变分析,推导：设变形前矩形单元斜边OB的长度为ds,7.5.1 任意方向的应变,已知线应变x、y和切应变xy，求与x轴成角的线段OB的线应变以及直角 的切应变。,方向角 以逆钟向为正，切应变以使直角增大为正,a)发生线应变,成为矩形OA1B1C1,b)发生剪切变形 ,成为平行四边形OA1B2C2,小变形情况下,对 由余弦定理，得,化简，得 轴方向的线应变,7.5 平面应力状态的应变分析,进一步改写成,轴方向的线应变,ex可表示为,7.5 平面应力
13、状态的应变分析,代入 和 得,1. 应变圆,圆心,半径,7.5 平面应力状态的应变分析,1)通过应变圆，可以得到该点任意方向的线应变和任两相互垂直方向的切应变,7.5.2 应变圆与主应变,2)一定存在两个相互垂直的方向，线应变分别取得极大值和极小值，而切应变等于零，这样的极值线应变称为主应变。,2. 主应变,7.5 平面应力状态的应变分析,一般先测出一点处三个选定方向上的线应变，联立求解，便可求得x，y和xy,7.5.3 应变花及其应用,(2)直角应变花测量线应变,三个应变片的方向分别为,(1)三个应变分量x，y，xy的测量,确定一点处主应变的数值和方向时,7.5 平面应力状态的应变分析,例7
14、-5 用直角应变花测得构件表面某点O处的三个线应变分别为 ， ， ，试求该点处的切应变、主应变及其方向。,解(1)切应变,令,(2)主应变,(3)主应变的方位角,或,7.6 广义胡克定律,正应力方向的线应变,7.6.1 广义胡克定律,一、 单向应力状态,二、复杂应力状态,单独作用，在该方向引起的线应变,垂直于正应力方向的线应变,和 单独作用，在 方向引起的线应变,叠加,同理可求得,切应变为,式(7-18)和(7-19)称为广义胡克定律,三、一般空间应力状态,7.6 广义胡克定律,(7-18),(7-19),1.变形前体积,3.体积应变,主应力表示的体积应变,2.变形后的体积为,7.6 广义胡克
15、定律,7.6.2 体积应变,为三个主应力的平均值,若三个主应力的代数和等于零，则体积不变。,7.6 广义胡克定律,例7-6 图7-21a所示圆轴的直径 ,材料的弹性模量 ，泊松比 。今测得圆轴表面K点处与母线成 角方向的线应变 。试求作用在圆轴两端的扭转力偶矩 。,解 围绕K点取应力单元体,方向上的正应力,方向上的线应变,联立，得,7.6 广义胡克定律,例7-7 在图7-22所示槽形刚体内，放置一边长为a =10 mm的正方形钢块，钢块顶面承受合力为F=16 kN的均布压力作用。已知钢块的弹性模量E=200 GPa，泊松比 。试求钢块的三个主应力。,解 顶面的压应力,根据广义胡克定律,考虑到
16、，得,三个主应力分别为,1. 应变能,2. 应变能密度,单位体积的应变能称为应变能密度，用 表示。,弹性体在外力作用下发生变形，载荷在相应位移上作功，从而在弹性体内储存了能量，称为应变能。,7.6 广义胡克定律,7.6.3 应变能与畸变能密度,单向应力状态下,三向应力状态下,主应力表示的应变能密度,3. 畸变能密度,1) 在图b示三向等值应力状态下，单元体三个棱边的变形相同，因而只有体积改变而没有形状改变。,7.6 广义胡克定律,2)图c示的应力单元体，三个主应力之和等于零，单元体将只有形状改变而没有体积改变，这种情况下的应变能密度称为畸变能密度，用符号vd表示。,单向应力状态下,7.7 强度
17、理论概述,通过实验直接确定危险点正应力和切应力的极限值，并以此为依据建立强度条件。,一、 简单应力状态,二、复杂应力状态,危险点处的三个主应力可以有无数种组合形式,三、强度理论,所谓“强度理论”，就是关于材料破坏原因的各种假说。根据这些假说，有可能利用简单应力状态的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。,7.8 四个常用的强度理论,最大拉应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的最大拉应力 ，达到材料单向拉伸时拉应力的极限值 ，材料就发生脆性断裂。,7.8.1 关于脆性断裂的强度理论,1. 最大拉应力理论(第一强度理论),破坏条件为,强度条件为,破坏条件,用主应力表示的断裂破坏条
18、件为,最大拉应变理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的最大拉应变 ，达到材料单向拉伸断裂时拉应变的极限值 ，材料就发生脆性断裂。,7.8 四个常用的强度理论,2. 最大拉应变理论(第二强度理论),强度条件为,最大切应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的最大切应力 ，达到材料单向拉伸屈服时切应力的极限值 ，材料就发生屈服破坏。,7.8.2 关于塑性屈服的强度理论,1. 最大切应力理论(第三强度理论),破坏条件为,强度条件为,7.8 四个常用的强度理论,主应力表示的屈服破坏条件为,破坏条件,用主应力表示的断裂破坏条件为,畸变能密度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要
19、危险点处的畸变能密度 ，达到材料单向拉伸屈服时畸变能密度的极限值 ，材料就发生屈服破坏。,7.8 四个常用的强度理论,2. 畸变能密度理论(第四强度理论),强度条件为,7.8.3 相当应力,四个强度理论的强度条件可统一写为,主应力的组合称为相当应力，用符号 表示。,7.8 四个常用的强度理论,7.8 四个常用的强度理论,例7-8 某铸铁杆件危险点处的应力状态如图所示，若许用拉应力 ，试校核其强度。,解 应力分量,主应力计算,三个主应力,按第一强度理论,杆件满足强度条件,7.8 四个常用的强度理论,例7-9 某塑性材料杆件中危险点处的应力状态如图所示。试求出该点处的第三、第四强度理论的相当应力表
20、达式。,解 由主应力公式得,三个主应力,第三、第四强度理论的相当应力表达式,7.9 莫尔强度理论,2. 两个面之间产生与切应力方向相反的内摩擦力。,一、莫尔强度理论,1. 切应力是使材料达到危险状态的主要因素。,3. 材料的滑动破坏不一定发生在最大切应力所在的截面上。,对在一定应力状态下的材料，当界面上的正应力为压应力时，应力值越大，材料越不容易沿该截面滑动，反之，当截面上的正应力是拉应力时，则应力值越大材料越容易沿该截面滑动。,二、应力圆,1. 极限应力圆的包络线 及 ，又称为极限曲线。,2. 莫尔强度理论认为,7.9 莫尔强度理论,(1) 如果由 与 所确定的应力圆位于上述包络线之内，则材
21、料不会失效。,(2) 若由 与 所确定的应力圆与上述包络线相切或相交，则材料发生失效。,3. 莫尔强度理论的特点：,7.9 莫尔强度理论,(1) 包络线在横轴的负方向敞开，表示材料能承受高的三向压应力。,(2) 由于包络线在左方不与横轴相交，反映了材料在三向均匀压缩时不破坏的事实。,三、莫尔强度理论的实际应用,1. 和 画出应力圆,这两个应力圆的公切线KK作为实际应用的许用包络线。,7.9 莫尔强度理论,对于已知的应力状态 ， ， ，由主应力 和 所画应力圆与该公切线相切，即得该应力状态的许用应力圆(图中的圆O3)。,2. 和 许用值所满足的条件,应力圆与许用包络线相切时,7.9 莫尔强度理论,其中,代入并经简化得,3. 强度条件,莫尔强度理论的相当应力为,7.9 莫尔强度理论,对拉、压强度相等的材料,与最大切应力相比，莫尔强度理论考虑了破坏断面上正应力的影响，以及材料抗拉和抗压强度不相等的情况。,7.9 莫尔强度理论,例7-10 图示为一铸铁材料试件。若测得单向拉伸强度极限为 ，单向压缩强度极限为 。试根据莫尔强度理论估算该试件受轴向压缩破坏时断面的方位。,解 设断面的法线方向为n，其方位角为,画极限应力圆，极限包络线,断面与轴线的夹角为,