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1、第八章 群论,在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群，群，环，域，格，布尔代数等等。 而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群的理论发展之后才引进的。,8.1 半群,1.概念 定义8.1：设是代数系统，*是二元运算，如果*运算满足结合律，则称它为半群(Semigroups) 例： 例8-1：(1)设 ，则是 半群(*矩阵乘法),8.1 半群,2.半群的幂运算 设x为半群中的元素，x的n次幂定义如下： 由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明 ，如果 ，则称x是的幂等元。 定理8.1：若是半群，S是有限集合
2、，则称S中必含有幂等元。,8.1 半群,8.1 半群,3.特殊半群 定义8.2：如果半群中二元运算*是可交换的，则称是可交换半群；如：，可交换半群， 不是。 定义8.3：含有关于*运算幺元的半群，称它为独异点(monoid)，或含幺半群，常记作 例： ，是独异点， 不是。 对于独异点，一般规定，,8.1 半群,定义8.4：(1)设为一半群，若 ，*在T中封闭，则称为子半群；(2)设为一独异点，若 ，*在T中封闭，且幺元 ，则称为子独异点。,8.1 半群,4.性质 定理8.2：一个有限独异点，的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。 例8-2：(1)S=a，b，c，*运算的定义如表，判断的代数结
3、构； (2)判断 的代数结构。,8.1 半群,(2),i)：封闭性：(画表)， ii)：可结合性：有的定义可知， iii)：幺元：0, 表中没有人员两行或两列元素完全相同。,8.1 半群,定理8.3：设，是半群，f为S到T的同态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)：同态像为一半群；(2)：当为独异点时，则为一独异点。 证：由7.10，7.11可得。,8.2 群的定义与性质,1.概念 独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念 定义8.5：如果代数系统满足：(1) 为一半群；(2) 中有幺元；(3) 中每个元素 均有逆元 ；则称代数系统为群(Gr
4、oups)。 群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭，可结合，含幺元，元素可逆。 例：,8.2 群的定义与性质,例8-3：设G=a，b，c，e，*为G上的二元运算，满足下表。 则G是一个群，且满足： (1)e是幺元； (2)G中任何元素的逆元就是 它自己； (3)a，b，c三元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。 这样的群称为Klein四元群，简称四元群。,8.2 群的定义与性质,例8-4：设是一个独异点，并且每个元素都有右逆元，证明为群。,8.2 群的定义与性质,2.群的幂运算 对于群中的任意元素a，可以类似半群一样来 定义它的幂： 即在群中，可以定义负数次幂 定理8.4：对
5、于群的任意元素a，b有：,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,3.群的性质 定理8.5：设为群，则 (1):方程a*x=b，y*a=b在G中有解且有唯一解； (2):当 时，无零元； (3):G中所有元素都是可约的，即 ，有a*x=a*y=x=y，x*a=y*a=x=y； (4):运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素； (5):群G中除幺元e外无其它幂等元。,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,定义8.6：若群G为有限集合，则称G为有限群(Finite Group)，否则称为无限群(Infinite Group)，群G的基数称为群的阶(Or
6、der)。 由定理8.5知：G为有限群时，*运算的运算表中每一行(列)都是G中元素的一个全排列，因此，当G分别为1,2,3阶群时，*运算都只有一种定义方式：如下,8.2 群的定义与性质,4.元素的阶及性质 定义8.7：设为群， ，满足等式 的最小正整数n称为a的阶(Order)或周期，记作|a|=n，若不存在这样的正整数n，称a是无限阶。 例：(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元的阶为1； (2)中幺元0的阶为1，其它整数均为无限阶元 (3) 中1的阶为4，2的阶为2，3的阶为4。 定理8.6：有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群G的阶数|G|。,8.2 群的定义与性质,定理8
7、.7：设为群， ，设k为整数，则 (1) (2),8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,例8-5：设G是n阶有限群，证明： (1)G中阶大于2的元素个数一定是偶数； (2)若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。,8.2 群的定义与性质,定义8.8：设为一群，若*运算满足交换律，则称G为交换群，或阿贝尔群(Abel group)，阿贝尔群又称加群，常表示为，加群的幺元常用0表示，常用-x表示x的逆元。 例：，。 定理8.8：设为一群， 为阿贝尔群的充要条件是对 ，有(x*y)* (x*y)= (x*x)* (y*y).,8.2 群的定义与性质,8.3 子群,定义8.9：设为群
8、， ，如果为G的子代数，且为一群，则称为G的子群(Subgroups)，记作HG。若H是G的子群，且 则称H是G的真子群，记作H是的子群，是的子群， 是的子群。 1.子群的判定定理 定理8.9 (判定定理一)：设为群，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,8.3 子群,定理8.10 (判定定理二)：设为群，H是G的非空子集，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,定理8.11 (判定定理三)：设为群，H是G的非空有限子集，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,2.特殊子群 例8-5：设G为群， ，即a的所有幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作，a称为生成元。 由a生
9、成的子群是包含a的最小子群。 例：对Klein四元群，其每个元素生成的子群分别是：=e，=e,a，=e,b，=e,c 对而言：=0,=0,1,-1,2,-2,=Z =0,2,-2,4,-4,=,8.3 子群,例8-6：设G为群，令C是G中所有元素都可交换的元素构成的元素集合，即： 则C是G的子群，称为G的中心。 对于阿贝尔群G，G中所有元素都可交换，G的中心就等于G，对于某些非交换群G，G的中心是e。,8.3 子群,例8-7：设G为群，H，K是G的子群，则：,8.3 子群,3.构造G的全部子群的方法 1.第0层：e 2.第1层： 3.第2层： 例： 0层：0； 1层：= ，=0,2,4,6,8
10、,10，= =0,3,6,9，=0,4,8,= ,=0,6 ,；,8.3 子群,2层： , = , 3层：，即G。 子群格：G为群，S=H|HG， ，ARB AB，构成偏序集，称为群G的子群格。,8.4 陪集与拉格朗日定理,1.群中子集合的乘积 定义8.10：设为群， ，且A，B非空，则 称为A，B的乘积。 (1)一般地：|AB|A|B|，当G可交换时，AB=BA (2)当A=a时，记aB=aB (3)性质：设为群， ，且A，B，C非空，则：i):(AB)C=A(BC)；ii):eA=Ae=A 定义8.11：设为的子群，任一 ，称gH为H的左陪集(Left coset)，称Hg为H的右陪集(R
11、ight coset)，这里：,8.4 陪集与拉格朗日定理,例：G为Klein四元群，H=e，a是G的子群，则H的所有右陪集为：He=e，a=H，Ha=a，e=H，Hb=b，c，Hc=c，b 2.陪集的性质 定理8.12：设为的子群,则：,8.4 陪集与拉格朗日定理,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.13：设为的子群,有： 定理8.14：任意两陪集或相同或不相交，即设为的子群，,8.4 陪集与拉格朗日定理,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.15：设为的子群, ，有：a，b属于H的同一左陪集 利用陪集还可以定义陪集等价关系。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.16：设为的子群，则 是G上的
12、等价关系，且 ，称R为群G上H左陪集等价关系。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定义8.11：设为的子群，对 ，如果有 ，则称a，b为模H同余关系，记为： 由定理8.16知：H的所有左陪集构成了G的一个划分，同样地，H的所有右陪集也构成了G的一个划分，令S=Ha|a G, T=aH|a G，还可证明|S|=|T|。,8.4 陪集与拉格朗日定理,H在G中的左陪集数和右陪集数相等，统称为H在G中的陪集数，也叫H在G中的指数，记为G:H。 由以上分析可导出拉格朗日定理。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.17：设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|G:H。 拉格朗日逆定理不成立，因此，据此定理只
13、可判别一子代数“非子群”，却不可用它来判别一个子代数“是子群”。,8.4 陪集与拉格朗日定理,推论1：设G是n阶群，则 ，|a|是n的因子，且 推论2：质数阶的群没有非平凡子群。 证：若有非平凡子群，则其子群的阶必是原来群的阶的一个因子，与原来群的阶是质数矛盾。,8.4 陪集与拉格朗日定理,推论3：设是群且|G|=4，则G同构与4阶循环群 或Klein四元群 。,8.5 正规子群与商群,1.正规子群 定义8.12：设为的子群，如果对任一 ，有gH=Hg，则称H是G的正规子群，记作 (1)：任何群都有正规子群：G，e； (2)：当G为阿贝尔群时，G的所有子群都是正规子群； (3)：正规子群要求g
14、H=Hg，但并不意味着g与H中的每个元素相乘都是可交换的； (4)：正规子群的左陪集和右陪集统称为陪集。 正规子群的判定定理,8.5 正规子群与商群,定理8.17：设为的子群，是的正规子群当且仅当,8.5 正规子群与商群,2.商群 利用群的正规子群可以诱导出一个新的群，这个群比原来的群简单却又保留了原来群的许多性质。 设为的正规子群，H在G中的所有陪集形成一个集合，即G/H=gH|g G(或Hg|g G)，在G/H上定义运算： 定理8.18：设为的正规子群，群G的商代数系统构成群。,8.5 正规子群与商群,8.5 正规子群与商群,定义8.13：群G的正规子群H的所有陪集在运算 下形成的群G/H
15、称为G关于H的 商群，显然，当G为有限群时，|G|/|H|=|G/H|。 例8-8：H=0,3，H为群 的正规子群，于是H的左右陪集为：,8.5 正规子群与商群,3.群同态 如果存在群 到群 上的同态映射，则称群 与 同态，若同态映射是双射，则称群 与 同构。 定理8.19：设 是群 到群 上的同态映射， 分别为 和 的幺元，则： 定理8.20：群与它的每个商群同态,8.5 正规子群与商群,定理8.21：设 是群 到群 的同态映射，那么 的核K( )构成 的正规子群,8.5 正规子群与商群,定理8.22：设 是群 到群 的同态映射，K=K( )，那么商群 与同态像 同构。,8.5 正规子群与商
16、群,例8-9：设h为群 到群 的同态映射，使得h(x)=2x(mod3)，即h(0)=h(3)=0, h(1)=h(4)=2, h(2)=h(5)=1,于是K=K(h)=0,3，则 为 的正规子群，所以：,8.6 特殊群：循环群与置换群,1.循环群 定义8.14：设G为群，若存在 ，使得 则称G为循环群，即G中的任何元素都是a的幂( =e)，记为。 例：(1)为循环群，1或-1为生成元； (2) 为循环群，2是生成元。 循环群G=分为n阶循环群和无限循环群； 若a是n阶元，则 ，且|G|=n 若a是无限阶元，则,8.6 特殊群：循环群与置换群,1.循环群的性质 定理8.23：设G=是循环群：
17、(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和，且同构于； (2)若G是n阶循环群，则G含有 (小于或等于n且与n互素的正整数r的个数，欧拉函数)个生成元，即 为生成元，且与 同构。,8.6 特殊群：循环群与置换群,8.6 特殊群：循环群与置换群,定理8.24：设G=是循环群，则(1)G的子群仍是循环群；(2)若G=为无限循环群，则G的子群除e外，都是无限循环群；(3)若G=为n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好有一个d阶子群,8.6 特殊群：循环群与置换群,3.求循环群子群的方法 G=：无限：e和，m为自然数；n阶：对每个n的因子d，有,8.6 特殊群：循环群与置换群,4.置换群 在介绍函数时，我们介绍了置换的概念。 (1)置换本质上是一个有限集合上的双射函数，例如： (2) 中 的一个排列，共有n!个 (3) 的逆函数 为逆置换 (4)置换的复合就是两个函数的的复合函数，如：,8.6 特殊群：循环群与置换群,(5)任何n元置换可以表示成不相交的转换(循环)之积，且表示唯一，如：,8.6 特殊群：循环群与置换群,这里补充两个概念： (6)对换： ，每个转换可表示成一些对换之积： 例： =(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78),8.6 特殊群：循环群与置换群,(7)所有的n元置换构成的集合 构成群：封闭，可结合，幺元，恒等置换(1)，逆置换,