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1、第三章 中值定理与导数的应用,1,中值定理,一、罗尔定理,条件： 在 上连续， 可导，,结论： 在 内至少有一点 ，st:,应用：证明方程 根的问题,例：设多项式,在 上有n个不同实根,证明 的所有,实根均在 内。,证明：设 是 的实根，,：对用罗尔定理，,至少存在一点,st:,类推： ，st:,导函数 为n-1次多项式，最多有n-1个实根,例：设 在 内具有二阶导数，且：,，其中，,试证在 内至少存在一点 ，st:,证明：,在 ： 连续， 存在，,st:,二、拉格朗日中值定理,K切,y,x,a,b,条件： 在a,b连续,在(a,b)可导,结论：至 少一点 ， st：,证明：引入辅助函数 ，s
2、t： 在,(a,b)上满足罗尔定理,应用：（一）推论：,1. if： ，so： （常数）,2.证明恒等式,3.构造辅助函数法：P.14 P.5,例：证明,证：令,以 代入，,（二）证明不等式,例：证明,证：令,利用拉格朗日定理，得：至少 ，st：,步骤：,1)令 区间；,2)用拉格朗日定理；,3)将 不等式。,三、柯西中值定理：, 洛必达法则：,未定式： 、 型（基本）,、 、 、 、 通过恒等变形，,可化成基本型，再用洛必达法则求,一、洛必达法则求 、 型,条件：,(1),(2) 、 存在,则,(3) 存在,注意：,(1) 满足条件；,(2)洛必达法则可以反复使用，直到不是未定式为止。,例：
3、 型,(1),(2) （ 为任意R）,(3) （使用了两次法则）,(4),(5) 原式,原式,不存在,洛比达法则失效,例： 型,(1),(2),注：,根据函数 图像的走向,1) 时，,2) 时，,遇此情况需加讨论,(3),或,二、其它未定式（5种） 通过恒等变形 或,1、 、 型,例：(1) 型,规律：此类型将 放其上,(2),(3),i) 取对数 ii) 求所取对数的极限 iii)求原式的极限,2幂指型：,(1),解：,(2),解：,(3),型,解：,求极值问题：,用单调性证明不等式,例：证明：当 时，,证明：(1)令,函数单调递减,注：,用二阶导数符号确定一阶导函数的单调性,(2)令,函数
4、单调递减,当 时，, 单调递减,当 时，,例：求 的极值,解：D的定义域为,令,不存在点,求极值步骤：,1. 求定义域D,2. 求 ，并令 ，得驻点及导数,不存在的点,3. 用 、 分区间，将D分区间列表讨论,4. 由讨论得 和,方法二用二阶导数,1. 求 得驻点,2. 在驻点处讨论二阶导数的符号：,，极大； ，极小,注：,局限性：1、只能用于驻点处,2、一般用于三角函数的函数中,例： 在 上的极值,解：,或,（二阶导数在三角函数中）,注意：,极值点、驻点和导数不存在点的取得,极值点不一定是驻点,6,最大（小）值问题,一、求闭区间上的最大最小值,1）求导数得驻点、导数不存在点 ,2）求函数值f
5、(x1)+(x2)f(a)+(b)进行比较，,从而得结果。开区间求极大极小值。,（1）求导数驻点及导数不存在点。,（2）求函数值（不包括两端点）。,特殊情况下求最大（小）值,1、（1）f(x)在a,b fwax为+（b）,（2）f(x)在a,b fwax为+（a）,2、f(x)在（a,b）内只有一个驻点，（驻点唯一），,极小值最值,3、实际问题当驻点唯一时，可不讨论直接得，,但需给出原因,例：运费最少 p（g）例2,x,A,D,C,B,3k,AB=100 AC=20 CDAB=5:3,求B到C最少运费,5k,f(x)=3k（100-x）+5k,求f(x)=0 = x=15,再取f(0)=? f
6、(100)=? =最小值,7,曲线的凹凸和标点,x1,x2,1、 任取x1、x2,凹,凸,2、判定方法用二附导数,凹,凸,3、拐点,定义：,凹凸的分界点称为拐点。,表示：,为坐标（a,b）表示,步骤：,（1）求 及 不存在的点,（2）在点的两侧讨论符号，若两侧异号,则为拐点，同号则不为拐点。,例：求下列曲线的拐点,（1）,y=(2-x)5/3,do:y=-5/3(2-x)2/3,y”=10/9(2-x)-1/3=,不可能为0，但当x=2时，y不存在,(-,2) (2,+),y ,y 凹 凸,= 拐点（2，+(2)）即（2，0）,（2）y=x1/3,do: y=-1/3x-2/3,y”=2/9x
7、-5/3,x=0时， y”不存在,(-,0) (0,+),y” ,y 凹 凸,= （0，+(0)）为拐点,二、应用证明不等式,例：试述xlnx+ylny(x+y)ln( ) (x0 y0 xy),证明：,令f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,f”(x)=1/x0,f(x) 凹,即,8,函数图象的描绘,一、曲线的渐近线,1、定义：,曲线无限接近于直线，称直线为曲线的渐近线。,分为：,水平渐近线,铅直渐近线,(*) 斜渐近线,2、求法：,if,（常数）,so：y = a 水平渐近线,if,so: 铅直渐近线,例：求下列曲线的渐近线,（1）,do：,无水平渐近线,x=-1为其铅直渐近线,（2）
8、,do：,y=1为其水平渐近线,x=0为其铅直渐近线,二、函数作图,作图步骤：,（1）确定函数的定义域,（2）考查函数的奇偶性（对称性）,（3）求渐近线（求水平和铅直）,（4）确定函数的增减区间，极值点，凹凸性，,拐点（列表）,（5）求出一些特殊点作用,例：作图：,do: D-3 (-,-3)V(-3,+)，非奇非偶函数,so y=1水平渐近线,so x=-3铅直渐近线,x = 3 时 y=0 , x = -3 , y不存在,x = 6 时 y”=0 , x = -3 , y不存在,求特殊点.过（0,1） f(0) f(3) f(6),-3,1,3,6,x,y,9,曲率 （刻化曲线的弯曲程度）
9、,一、弧微分,弧长的微分公式（弧微分）,二、曲率计算公式,曲线的弯曲程度,1、公式,（已知y=f(x)）,4,0,2、曲率图：曲率半径p=1/K,习题评价：,如果f(x)为偶函数，且f(0)存在，证明f(0)=0,f(0)=-f(0) = f(0)=0,第四章 不定积分,1,一、概念,1、原函数 计：f(x)=f(x)，称 f(x)是f(x),的一个原函数,（1）f(x)连续一定有原函数,（2）原函数的个数无穷多个 f(x)+c,2、不定积分f(x)的所有原函数叫做f(x),的不定积分,（积分号） f(x)被积函数 x积分变量,3、性质,（1）,（2）,二、基本积分表（六类基本函数求不定积分）
10、,1、,2、,=-arccosx+c,3、,=-arcctgx+c,4、,5、,6、,7、,8、,9、,10、,11、,12、,2,不定积分的计算.,一、直接积分法利用积分和性质.,(1),(2),(3), 不定积分中涉及到取绝对值的情况,时可不考虑.,(4),(5),(6),(7),(8),二、凑微分法（第一类.换元法）.,如,基本思想通过凑微分化为公式形式 用公式得结果.,(1),(2),(3),(4),(5),验证：求导得被积函数,第二类 利用幂函数的微积分公式凑微,=,=,=,例 (1),(2),(3),(4),(5),双曲函数：,双曲正弦：,（奇）,双曲余弦：,（偶）,双曲正切：,（
11、奇）,几种换元积分形式 :,注意：在计算形如 （m,n为非负整数）,的积分时，若m,n中至少有一个奇数，如m为奇数，,可将 凑成微分 从而转化为幂,函数的积分，若n和m均为偶数，一般可用倍角,公式降低被积函数的方次，然后再进行积分。,第三类 利用指数.指数函数的微分公式凑微分。,对数函数,例 (1),(2),(3),（即求复合函数的逆运算）,(4),指数函数,(1),(2),(3),(4),第四类 利用三角函数，反三角函数的微分公式微分。,(1),(2),(3),(4),(5),公式：,凑微分法,三、 第二类换元法（去根号）,（1）,a,x,x = asint sint =,(2),即: 时,
12、令,(3),当含有 时,令,if,3,分步积分法,公式:,两端同时对x积分:,应用 :,(1)u,v的选择-规律,(2)适用范围,情形1:,当被积函数f(x)含有幂函数,指数函数,用分,步积分法,当被积函数f(x)含有幂函数,三角函数,令,(1),(2),其中 中的n次方决定了用分步积分法的次数,情形2:,当被积函数 含有幂函数,对数函数,当被积函数 含有幂函数,反三角函数,用分步积分法,令,情形3:,当被积函数f(x)含： 指数函数，三角函数。,u可以任选。,例：,(仍未被化简),前后两次需选相同类型函数,分布积分法与换元法的综合运用,例：,换元降次，再用分步积分法,解：,原式,原式=,解：,原式=,凑微分：,方法一：,方法二：,解：,令,方法：令,