《高等数学07.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学07.ppt（64页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、*四、 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,例7. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,(mm2),费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,
2、满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定,成立.,例如,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在a, b 上连续,在(a, b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,拉氏,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论: 若函数,在区间 I 上满足,则,在 I
3、 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,令,则,例. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,例. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,例. 设,至少存在一点,使,证: 问题转化为证,设,则,在 0, 1 上满足柯西
4、中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,推论 2. 若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,洛,洛,例2. 求,解: 原式,洛,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: n 为正整数的情形.,原式,洛,
5、3) 若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则 !,即,注：,（1）罗必塔法则只适用于 和 型；,（2） 存在，且 ；,（3）是对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导；,（4）当 不存在时，不能用罗必塔法则。,课堂练习：求极限,（1）,（2）,（3）,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例. 求,解: 原式,洛,解: 原式,例. 求,通分,取倒数,取对数,洛,例. 求,解:,例5,通分,取倒数,取对数,例. 求,解: 注意到,原式,洛,极限求法,1. 利用极限的运算法则和函数的连续性；,2. 利用恒等变形后计算；,6. 利用罗必塔法则。,5. 利用等价无穷小；,3. 利用两个重
6、要极限；,4. 利用无穷小的性质；,麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ),泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ),一、泰勒公式,问题的提出,根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时), 略掉o(x-x0), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计.,下页,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n
7、 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒(Taylor)中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,
8、在包含 0 , x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,2. 利用泰勒公式求极限,例. 求,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区
9、间 I 内可导,证毕,确定函数单调区间的步骤：,1.确定函数的定义域；,2.求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点（按从小到大的顺序排列）；,3.以这些点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的小区间，在这些小区间上，利用一阶导数的符号，进行判断。,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例2. 证明,时, 成立不等式,证明,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,一、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点
10、,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 ,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,求极值的方法,2.求出一阶导数等于零或不存在的点；,3.用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；,4.求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。,1.确定函数 y=f(x) 的定义域；,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判
11、别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,定理（第二充分条件） 设函数 f(x) 在点 x0 具有二阶导数，且 f (x0)=0，那么： (1)若 f (x0)0，函数 f(x) 在 x0 处取得极小值 f(x0)； (3)若 f (x0)=0，则不能判定 f(x0) 是否为极值。,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,拐点,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 f (
12、x) 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,例. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,对应,例. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解: 1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,例. 求曲线,的拐点.,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若
13、在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,注：拐点是曲线上 f(x) 的点，故拐点的正确记法应为 (x0 , f(x0)，而不能说 x=x0 是拐点，也不能说 f(x0) 为拐点。,求出函数 f(x) 在 a,b 上的所有极值点的函数值，以及端点的函数值 f(a) 和 f(b)，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。,求最值的方法,实际问题中，若可导函数在某一区间有唯一的驻点，则该点就是最值点。是最大值还是最小值要看实际问题是求最大值还是求最小值。,( k 为某常数 ),例
14、 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B 运到工,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小值点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,厂C 的运费最省,从而为最小值点 ,问D点应如何取?,Km ,公路,价之比为3:5 ,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为铅直渐近线.,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,例2. 求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,