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1、高等数学（上） 第八讲,第一章,第四节,无穷大与无穷小,11.4 无穷大与无穷小,则称f (x)是该极限过程中的,1、定义1. 若lim f (x)=0,一、无穷小量,例：,(省去xxo , x的极限符号“ lim” 表示任一极限过程).,一个无穷小量,极限为0的数列xn也称为,时的无穷小,注意！,注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量,小量, 但,如sinx是x0时的无穷,注2：,注3：0是任何极限过程的无穷小量.,除0外的任何常数（即使其绝对值很小）不是无穷小,由于limC = C(常数),所以,是该极限过程中的无穷小量. A为常数.,0, 0,定理1.,证：,类似可
2、证x时情形.,必要性,充分性,当0|x x0| 时,有|f (x) A| ,定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,2、无穷小的运算性质:,定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,注意！,在同一过程中,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,定义2：若 0(无论多么大),记作：,则称f (x)是x x0 时的无穷大量.,二、无穷大量, 0,当0|xxo| 时，,有|f (x)|M,(或X0),(或|x|X),(或x ),绝对值无限增大的变量
3、称为无穷大.,x,x,y,y,x1+,x1,例1：,证：,3. 根据定义证明: 函数,为当x0时的无穷大.,问x应满足什么条件, 能使|y|104？,证明,要使|y|M,只须,即,使当0|x0| 时, 有,所以当x0时, 函数,是无穷大.,取M104, 则,时, |y|104.,习题143,例2：,定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则,反之, 若f (x)为无穷小量,三、无穷小与无穷大量的关系,注意： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,例2: 试从函数图形判断下列极限.,课堂练习,解： (1),x,y,y = tgx,x,y,(2),x,x,y,y,x+,四、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,