《高等数学上第四讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学上第四讲.ppt（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高等数学（上） 第四讲,第一章,第二节,数列的极限（1）,第二节 数列的极限,有很多实际问题的精确值，仅仅通过有限次的,而必须通过分析一个,由此产生了,例如,一、极限思想,算术运算是求不出来的，,无限变化过程的变化趋势才能求得，,极限概念和极限方法。,(1),我国晋朝时代数学家刘徽割圆术,依次求出圆内接 正六边形，正十二边形，正二十四边形,就接近于对应圆的面积.,正,边形的面积：,正多边形的面积An,利用圆内接正多边形的面积,推算圆的面积,当正多边形的边数越来越大,(2),二、数列的概念,按照一定的顺序排成的,一列数,中学的定义,叫做一个数列，,数列可表示为xn,数列xn=f (n)是一个以正
2、整数集Z+为定义域的函数,(3),观察数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1。,如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?,三、数列的极限,常数1就是数列xn当n趋向于无穷大时的极限,？,(4),就是说:无论你给一个多么小的正数 , 当n充分大时,要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”,只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.,而要说明“| xn1 | 越来越接近于0”,则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 | 能够小于任意给定,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.,的, 无论多么小的正数 ”,|
3、 xn1 | 比 还小,(5),事实上, 给, 很小, 只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给, 则从第10001项开始,以后各项都有,(6),一般, 任给 0, 不论多么小,只须,. 因此, 从第,项开始, 以后各项都有,. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,存在一个整正数N,(7),定义: 设xn是一个数列, a是一个确定的常数,若 0,则称a是数列xn当n无限增大时的极限,记作,这时, 也称xn的极限存在, 否则, 称xn的极限不存在, 或称xn是发散的.,正整数N,使得当nN时,都有|xna|,或称xn收
4、敛于a,对任意的,总存在,(8),注1. 定义中的是预先给定的, 任意小的正数；,注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同的 确定的N也不同；,注3.,定义中“ 当nN时, 有| xna |”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |,至于以前的项是否满足此式不必考虑.,(9),四、几何解释:,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,由于| xna |,xn以a为极限,就是对任何以a为中心, 以任意小的,总能找到一个N,而只有有限项落在U(a, )外部.,a xn a,xn(a , a +)=U(a, ).,正数 为半径的 邻域,从第N+
5、1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,(10),证明数列极限的步骤：, 0,由|xna|,解出nN(),取N=N(),关键在于找出N,(11),设数列xn的一般项,求出N, 使当nN时,xn与其极限之差的绝对值小于正数 ,当 0.001时, 求出数N.,解,.,.,要使|x n0| ,则nN, 有|xn0| .,当 0.001时,习题1181、,例1.,(12), 0,例2,证,要使,只须,即, 0,当nN时, 有,所以,证明,取,习题1192、,例3、,根据数列极限的定义证明:,2、,3、, 0,要使,只须,即,当nN时, 有,证明,取,所以,结束,例2. 证明,证: 0,要使,则当nN时, 有,(3),例4. 设q是满足 |q |1的常数, 证明,证. 若 q = 0 , 结论显然成立., 0.,设 0 |q |1.,现在, xn = qn, a = 0.,因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | ,(5),只须 |q | n .,即 n ln |q | ln ,取正整数,则当 n N 时, 有,从而有,| qn 0 | ,|q | n ,(6),