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1、6-2 多元函数的极限,1. 二元函数的极限概念,定义1 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的正数 都存在正数 ,使得当,时，就有,则称 趋于 时 以为极限,定义2 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的 都存在一个 ,使得当,时，就有,证,从而推出，当,例1,证,因为,例2 设,求证,证,故,总有,必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.,讨论,例 3 问函数,解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (
2、0, 0) ,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,2. 二元函数的极限运算法则与基本性质,定理1,设 与 在点 的一个空心邻域内有定义, 若,则,当 时,定理,定理(夹逼定理),设 与 在点 的一个空心邻域内有定义, 且 并且当 , 及 分别以 及 为极限，则 即,设 与 在点 的一个 空心邻域内有定义, 且,若,则,定理4 (复合函数的极限定理),设 及 在点 的一个空心邻域内有定义, 且有极限:,又设 在点 的一个空心邻域内有定义, 且使得当 在 的空心邻域内时,函数 有定义;并且当 时, 函数 的极限为,则当 时,复合函数 也有极限,并且等于,定理5,设 是定
3、义在 点的一个空心邻域 内的一元函数,且有极限,又设 是定义在 点的一个空心邻域内的二元函数,且,则,例4 证明,证,则,解,令,再由定理5及例2可知,那么，由定理4我们得到,例 5 求极限,3. 累次极限与全面极限,累次极限,例,全面极限,例 6 函数,但,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,若两个累次极限存在, 但不相等：,即使两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.,累次极限与二重极限是二个不同的概念,一般来说,它们之间没有什么必然联系.在求全面极限时不可用累次极限代替.,例如，函数,全面极限；,累次极限：,不存在.,又例如，函数,习题 6-2 1. (1) (3) (5); 2. (2); 3.(1) (3); 4.(2).,