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1. 方向导数,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,6-6 方向导数与梯度,6-6 方向导数与梯度,1. 方向导数,讨论函z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题,如果函数增量, 即当 l 与 x 轴同向, 即当 l 与 x 轴反向,关于方向导数的存在及计算：,方向导数是偏导数的推广,定理 若函数 在点 处可微, 则,在该点沿任一方向 的方向导数均存在, 且,其中 为 的方向余弦.,证,例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数 .,解,首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：,其次计算给定方向的方向余弦.,故所求方向导数,且 的方向余弦为 , 则,例2,解,根据定义,先求 的方向余弦.,2. 梯度,方向导数公式,方向导数取最大值：,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,梯度的概念可以推广到三元函数,例 3,解,沿着与电场强度相反的方向，电势增加率最高.,解,梯度计算的运算法则：,其中 有连续的一阶偏导数,三、小结,1. 方向导数的概念,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,2. 梯度的概念,（注意梯度是一个向量）,3. 方向导数与梯度的关系,习题 6-6 1. 3. 5. 7. 8.,