工程力学03ppt课件.ppt

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1、31 力对点之矩 32 力对轴之矩 33 力偶与力偶矩,第三章 力偶系,主要介绍：力对点之矩的概念、力对轴之矩的概念、 力偶的概念、力偶的的性质、平面力偶系 的合成、平面力偶系的平衡。,31 力对点之矩,一、平面中力对点之矩,实例：用扳手拧螺母。,定义：设平面刚体内一点 O 为矩心，,称 F h 为力 对O点之矩，记为：,规定：力 使刚体绕O点逆时针转动时，力对点之矩取“+”号，, 在平面问题中，力对点之矩为代数量。,O到力 作用线的距离 h 为力臂，,反之，力对点之矩取“”号。,单位：Nm (牛顿米)，kNm (千牛米) 。,由图知：,力对点之矩特点：,1) O 点不同，力对点之矩不同；,2

2、) 沿作用线移动时，力对点之矩不变；,3) h=0时，,h ，转动效应 。,即为 2 倍 DOAB 面积。,力对物体可以产生,移动效应取决于力的大小、方向,转动效应取决于力矩的大小、方向,2. 合力矩定理,各力对矩心 O 点之矩为：,合力矩定理：平面汇交力系合力对平面内任一点之矩等于各分 力对同一点之矩的代数和。,即：,设平面汇交力系为：,力系合力为,对矩心 O 点之矩为：,例1 已知：如图 F=500N，l=0.2mm， a=30。,解： 图 a), 图 b),用力对点之矩的定义，有：,应用合力矩定理：,求： 对插入端B点之矩。,F,则：,图a),图b),例2 水平梁AB受均匀分布的载荷作用

3、，如图所示。载荷集度 为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。,解：,在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，,因此分布载荷的合力大小为,设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有,将F 的值代入上式，得,32 力对轴之矩,一、力对轴之矩的概念,平面内力对点之矩使平面绕O 点转动，即为平面绕过 O 点的垂直轴 z 转动，, 有力对轴之矩：,若力 不在平面内：,A,B,O,h,当力 与 z 轴平行时，不会发生转动效应，,即：,当力 不与 z 轴平行时，将 分解：, z 轴，,在 xy 平面上，作用线到 O 点 的距离为h，,规定：,O,A,从 z 轴正向看，逆时针转向的力对

4、轴之矩为正，反之为负。,或用右手螺旋法则确定符号。, 力对轴之矩为代数量，单位：Nm,B,定义：,O,A,是用来表示力对刚体产生的绕 z 轴转动效应的度量。,可知：,力 对 z 轴之矩等于 在垂直于 z 轴的 xy平面内的投影对 z 轴与平面的交点 O 点之矩。,B,b,(1) 当 z 轴时， ，,(2) 当 与 z 轴相交时，h=0，,(3) 当 沿其作用线移动， 不变。,当力与 z 轴在同一平面时，力对 z 轴之矩为零。,同理，可得力 对 x、y 轴之矩的概念。,O,z,x,y,A,a,B,b,z,x,y,二、力对坐标轴之矩,同理，得：,例3 手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F

5、，如图所示，位 于垂直于 y 轴的平面内，偏离铅直线的角度为a。若CD= b， 杆BC平行于x 轴，杆CE平行于y 轴，AB和BC的长度都等于l。 试求力 F 对 x，y 和 z 三轴的矩。,力F 沿坐标轴的投影分别为：,解：,方法1：应用合力矩定理求解。,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,方法2：应用对轴的矩之解析 表达式求解。,则有：,力F 沿坐标轴的投影分别为：,力作用点 D 的坐标为：,实例：汽车驾驶员转动方向盘；,33 力偶与力偶矩,一、平面力偶概念,电动机转子；,钳工用丝锥攻螺纹等。,实例：汽车驾驶员转动方向盘；,33 力偶与力偶矩,一、平面力偶概念,实例：汽车驾驶员转

6、动方向盘； 电动机转子； 钳工用丝锥攻螺纹等。,作用在汽车方向盘、电机转子上、丝锥手柄上的两个力大小相等，方向相反，作用线平行，作用效果是使物体转动。,力偶两个力所在的平面称为力偶作用面；,实践表明，力偶只能使刚体产生转动效应，是常见的一种特殊力系。,定义：大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系 称为力偶。记为,作用于刚体上的一群力偶称为力偶系。,力偶两个力作用线间的距离 d 称为力偶臂。,说明：,1)力偶无合力，对物体不产生移动效应；,2)力偶使物体产生转动，不满足二力平衡条件；,不能用一个力代替，不能用一个力平衡。,力偶两个力所在的平面称为力偶作用面；,实践表明，力偶只能使刚体产

7、生转动效应，是常见的一种特殊力系。,定义：大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系 称为力偶。记为,作用于刚体上的一群力偶称为力偶系。,力偶两个力作用线间的距离 d 称为力偶臂。,说明：,1)力偶无合力，对物体不产生移动效应；,2)力偶使物体产生转动，不满足二力平衡条件；,不能用一个力代替，不能用一个力平衡。,3)力偶对其作用面内任一点之矩与 O 点位置无关，只与 F、d 和转向有关。,定义：称 M=Fd 为力偶矩。,规定：,力偶使物体逆时针转动时，力偶矩取“+”，反之取“” 。, 平面力偶对物体的转动效应取决于：,1) 力偶矩的大小；,2) 力偶在作用平面内的转向。, 平面问题中，力

8、偶矩为代数量。,力偶矩单位：Nm，kNm。,二、平面内力偶的等效条件,在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,力偶的性质：,1) 力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平面，而 不改变它对刚体的效应；,二、同平面内力偶的等效条件,在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,力偶的性质：,1) 力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平面，而 不改变它对刚体的效应；,2) 只要保持力偶转向和力偶矩的大小不变，可以同时改变力偶 中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的效应。, 力偶的表示：,=,=,三、平面力偶系的合成,平面力偶系：作用面相同的几个力偶组

9、成的系统。,合力偶：与平面力偶系等效的一个力偶。,合成法则：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶的力偶 矩等于各力偶矩的代数和。,即： MR = M1+ M2 + + Mn= SMi,四、平面力偶系的平衡条件, 当 MR = 0 时，平面力偶系一定平衡；,若要力偶系平衡， MR 必须为 0 。, 平面力偶系的平衡条件为：,力偶系中所有各力偶矩的代数和为零。,即： S Mi = 0,可用来解决平面力偶系的平衡问题，只能求解一个未知量。,例4 一简支梁作用一矩为 M 的力偶，不计梁重，AB = d 。 求二支座的约束力。,梁上除作用有力偶 M 外，还有约束力 FA，FB 。,解：取梁为研究对象。

10、,因为力偶只能与力偶平衡，所以 FA = FB。,由 Mi = 0 M FAd = 0,d,M,B,A,所以 FA = FB = M/d,例5 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的力 偶矩分别为：M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱A 和B的距离 l=200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。,选工件为研究对象，因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力偶，故FA= FB。,B,l,A,解：,SMi = 0 FAl M1 M2 M3 = 0,解得,列平衡方程：,例6 横梁AB长 l，A端用铰链杆支撑，B 端为铰支座。梁上受 到一力偶的作用，其力偶矩为 M，如

11、图所示。 不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。,解：,取梁 AB 为研究对象。,解得,列平衡方程：,梁所受的主动力为一力偶，AD 是二力杆，因此 A 端的约束力必沿 AD 杆。,梁AB受力如图。,SMi = 0 M FAlcos45 = 0,根据力偶只能与力偶平衡的性质，可以判断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一力偶，因此有：FA = FB 。,例7 如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作 用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。 已知 OA = r ，DB = 2r，a = 30，不计杆重。 试求 M1 和 M2 间的关系。,解：,因为杆 AB

12、 为二力杆，故其反力 FAB 和FBA 只能沿 A、B 的连线方向。,分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O 和D 的约束力 FO 和 FD 只能分别平行于FAB 和 FBA，且与其方向相反。,写出杆 OA 和 DB 的平衡方程：,因为 FAB = FBA,所以求得,SMi = 0 M1 FAB r cosa = 0 M2 + 2FBArcosa = 0,例8 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上 的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，力偶矩为 M1=2 kNm， OA = r =0.5 m。图示位置时OA 与OB 垂直，角 a =30o，且 系

13、统平衡。求作用于摇杆BC 上的力偶的矩M2 及铰链 O、B 处的约束力。,B,O,r,A,C,M2,M1,a,再取摇杆BC为研究对象。,先取圆轮为研究对象。,解得,其中 FA= FA,解得 M2 = 4M1 = 8 kNm,解：,S Mi = 0 M1 + FA r sin a = 0,因为力偶只能与力偶平衡，所以力 FA 与 FO 构成一力偶，故 FA= FO。,例9 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的 孔，每个钻头的力偶矩为 M1= M2= M3= M4= 15 Nm。 求工件的总切削力偶矩和 A、B 端的约束力。,解：各力偶的合力偶矩为,由平面力偶系平衡方程有：,由力偶只

14、能与力偶平衡的性质，约束力 FA 与力 FB 组成一力偶。,MR = M1 + M2 + M3 + M4 = 4(15) = 60 Nm。,FB0.2 M1 M2 M3 M4 = 0, FA= FB = 300N,五、力偶矩矢,空间力偶的作用平面可以平行移动而不改变对刚体的效应。,M、M使刚体产生的绕 x 轴转动的效应；, 当力偶的作用平面改变时，其对刚体的效应将改变。,如平面与平面平行，平面与平面垂直，,M= M= M,M使刚体产生的绕 y 轴转动的效应；,两者效应不同。,力偶对刚体的效应取决于：,1)力偶矩的大小,2)力偶作用面的方位,称为力偶的三要素，可用一个矢量表示：力偶矩矢,3)力偶

15、在作用面内的转向,A,B,力偶矩矢大小：线段长度，, 力偶对刚体的作用效应完全由力偶矩矢 所决定。,力偶矩矢,力偶作用面方位：矢的方位与力偶作用面法线相同,力偶的转向：右手螺旋法则,注意：对刚体，力偶矩矢为一自由矢量。,即力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢，与矩心位置无关。,A,B,取坐标系： Oxyz,力偶矩矢 的解析式为：,Mx，My，Mz 为力偶矩矢在坐标轴上的投影。,34 力偶的等效条件和性质,一、力偶的等效条件,两个力偶，如果力偶矩矢相等，则两力偶彼此等效。,二、力偶的性质,1) 力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平面，而 不改变它对刚体的效应；,2) 只要保持力偶转向和力偶矩的大小不变，可以同时改变力偶 中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的效应。,35 力偶系的合成,合成法则：力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢 等于各力偶矩矢的矢量和。,即：,合成法则的解析式为：,36 力偶系的平衡条件,即：,投影式为：,力偶系的平衡条件为：,力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和为零。,力偶系平衡的解析条件：,力偶系各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别为零。,力偶系各力偶矩矢在 x 轴上投影的代数和为零；,力偶系各力偶矩矢在 y 轴上投影的代数和为零；,力偶系各力偶矩矢在 z 轴上投影的代数和为零。,上式称为力偶系的平衡方程，可求解 3 个未知量。,