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1、,矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授,二六年五月,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1 矩阵的相似对角形 2 矩阵的约当标准形 3 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式 4 多项式矩阵与史密斯标准形 5 多项式矩阵的互质性与既约性 6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 7 系统的传递函数矩阵* 8 舒尔定理及矩阵的QR分解 9 矩阵的奇异值分解,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
2、,数字矩阵 多项式矩阵 有理分式矩阵 标准型 分解形式： QR分解 奇异值分解 导引性的讨论,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,那么，A是否可以相似于对角矩阵？即,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似 方法 1）求矩阵A的特征值 2）求对应的特征向量
3、3）求变换矩阵（由特征向量构造） 4）求变换矩阵的逆矩阵 5）进行变换,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,例,特征多项式 特征值,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,对应的特征向量分别为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似？,J称为约当矩阵
4、,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,性质 | 表示整除,k阶行列式因子 的所有不为0的k阶子式的最大公因式，记为,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,称为A的不变因子,不变因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,初等因子 在不变因子中，次数大于1的在复数 范围内分解成一次式和一次式的乘幂 的形式，所有的一次式或者一次式的 乘幂的形式，放在一起叫做初等因子,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
5、,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,哈密顿-开莱定理,代数多项式,矩阵多项式,是A的特征多项式，则,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,应用 计算矩阵多项式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,最小多项式 A的零化多项式次数最低的 （首一化）记为m(A),A的最小多项式可被它的所有零化多项式整除,A的最小多项式唯一,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,计算方法,应用 进一步简化矩阵多项式的计算,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标
6、准形,多项式矩阵,普通矩阵经初等变换，有,类推,可以吗？,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,A的子式可能为（1）多项式 （2）0 （3）不为0常数 有关定义 秩 A的r阶子式不为0，而r1阶子式为0，r称A的秩 满秩 方阵A的行列式不为0 可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E 可逆条件 方阵A的行列式为不为0的常数,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,复习 数值矩阵的初等行变换,k为任意常数,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵的初等行变换,类似的，可以定义初等列变换
7、,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵A经过初等变换变为B，则称A与B等价 记为,定理,史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,性质,史密斯标准形中的 即是不变因子,两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因子，相同的不变因子，相同的初等因子,初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩,充要条件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,多项式的最大公因式,
8、多项式矩阵情况,矩阵的左乘和右乘不同，分别加以定义,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,最大右公因式 gcrd,个,初等行变换,求法,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,于是,可见gcrd不唯一,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,性质,不唯一,一个多项式矩阵的两个gcrd，一个满秩，另一个也满秩；一个可逆，另一个也可逆,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,右互质,两个多项式矩阵的gcrd可
9、逆,质,标准形是,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,最大左公因式 gcld,个,初等列变换,求法,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,左互质,两个多项式矩阵的gcld可逆,质,标准形是,性质,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,有理分式阵,可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E 可逆条件 方阵A的行列式为不为0,多项式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,阵，则必有可逆的多项式矩阵,定理,史密斯-麦克米伦标准形,第三章
10、 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,最小公倍式,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,例,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,类似的，可定义右分解及右既约分解,一个有理分式阵必有左右分解及左右既约分解,定理,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8. 舒尔定理及矩阵的QR分解,QR分解定理,任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得 A = QR,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8. 矩阵的奇异值分解,奇异值分解定理,存在酉阵,使得,其中,称为A的奇异值，而,称为矩阵A的奇异值分解,谢谢,Thank You!,