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1、,矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授,二六年五月,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第四章 矩阵函数及其应用,第四章 矩阵函数及其应用,1 向量范数 2 矩阵范数 3 向量和矩阵的极限 4 矩阵幂级数 5 矩阵函数 6 矩阵的微分与积分 7 常用矩阵函数的性质 8 矩阵函数在微分方程组中的应用 9 线性系统的能控性与能观测性,第四章 矩阵函数及其应用,1. 向量范数,1. 向量范数,第四章 矩阵函数及其应用,1. 向量范数,对于一般的线性空间，没有长
2、度概念。 引入某种度量，满足三个性质。,第四章 矩阵函数及其应用,1. 向量范数,对于内积空间，向量的长度是一种范数。 2-范数,第四章 矩阵函数及其应用,1. 向量范数,第四章 矩阵函数及其应用,2. 矩阵范数,对于矩阵，既可以看作向量，又有不同于向量的运算。,2. 矩阵范数,第四章 矩阵函数及其应用,2. 矩阵范数,矩阵范数与向量范数的联系,每一种矩阵范数都有与之相容的向量范数 任意两种矩阵范数都是等价的,第四章 矩阵函数及其应用,2. 矩阵范数,第四章 矩阵函数及其应用,2. 矩阵范数,第四章 矩阵函数及其应用,3. 向量和矩阵的极限,3. 向量和矩阵的极限,定义1 对于向量 若存在极限
3、,则称酉空间 的向量序列 收敛于向量 记为,向量序列的极限是按坐标序列的极限来定义的,第四章 矩阵函数及其应用,3. 向量和矩阵的极限,定义2 对于矩阵 若存在极限,则称酉空间 的方阵序列 收敛于方阵 记为,方阵序列的极限是按元素序列的极限来定义的,第四章 矩阵函数及其应用,3. 向量和矩阵的极限,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,4. 矩阵幂级数,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,方阵级数的收敛性质：,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,方阵级数的收敛性质：,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,方阵级数的收敛性质：,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级
4、数,定理1：,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,定理2,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,推论1,第四章 矩阵函数及其应用,4. 矩阵幂级数,推论2,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,定理1,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,定理2,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其
5、应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,5. 矩阵函数,第四章 矩阵函数及其应用,6. 矩阵的微分与积分,A(z)导数的定义,6. 矩阵的微分与积分,第四章 矩阵函数及其应用,6. 矩阵的微分与积分,第四章 矩阵函数及其应用,6. 矩阵的微分与积分,积分性质：,第四章 矩阵函数及其应用,7. 常用矩阵函数的性质,性质：,第四章 矩阵函数及其应用,7. 常用矩阵函数的性质,第四章 矩阵函数及其应用,8. 矩阵函数在微分方程组中的应用,第四章 矩阵函数及其应用,8. 矩阵函数在微分方程组中的应用,第四章 矩阵函数及其应用,8. 矩阵函数在微分方程组中的应用,第四章 矩阵函数及其应用,8. 矩阵函数在微分方程组中的应用,由公式我们可以很容易得到答案（略）,谢谢,Thank You!,