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1、习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, ,Cn.定义内积 (,)=A*.试证它是内积;写出相应的C-S不等式,: :Cauchy-Schwarz不等式：,习题3-3(1),#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV= 子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W
2、1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.,习题3-9,#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵. 证: A*A=(E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E-(T+iS)(E+(T+iS)(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E 注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS)(E+(T+iS)=(E+(T+iS)(E-(T+iS) =(E+T+iS)(E-T-iS),习题3
3、-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同,证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, B=Vdiag(1,n)V*, 其中1,n是A,B的特征值集合.于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.,习题3-13,#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A). 证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A2=A 和 A2=
4、Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U* =Udiag(12,n2)U* i2=i,即i0,1,i=1,n,. 取1,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-14,#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A2=E=Udiag(1,1)U* 和 A2=Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U* =Udiag(12,n2)U* i2=1,即i=1,i=1,n,. 取1,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
5、前面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-16,#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数. 证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.,#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PA
6、P*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B) =det A det(A-1-B)=0. 但det A 0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明),习题3-19设A是正定Hermite矩阵且AUnn,则A=E,证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A 是
7、正定蕴含 i0,i=1,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,n 因此 i=1,i=1,n A=Udiag(1,n)U*=UEU*=UU*=E.,习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵,解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 A+B是半正定Hermite矩阵. 0xCn,x*Ax0,x*Bx0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx0 A+B是正定Hermite矩阵.,习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A与B相似的
8、充要条件是A与B酉相似,证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, B=Vdiag(1,n)V*, 其中1, n,1,n分别是A,B的特征值集合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.,习题3-23设A*=A.试证:总存在t0,使得A+tE是正定;A-tE是负定,证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值并且全为实数.令 tMax|1|,|n|,于是,A
9、+tE是Hermite矩阵 并且特征值全为正数，即得证A+tE是正定Hermite矩阵. AtE是Hermite矩阵 并且特征值全为负数，即得证AtE是负定Hermite矩阵.,习题3-25,#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆) 解: U*=U-1 (A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E 因最后一式恒成立,得证U*=U-
10、1,从而 U=(A+E)(A-E)-1Unn.,习题3-26设A为正规矩阵特征值为1, n.试证:A*A的特征值为|1|2,|n|2.,证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,|n|2)U*. 因对角矩阵diag(|1|2,|n|2)酉相似于A*A,故A*A的特征值为 |1|2,|n|2,习题3-27,#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同(它们的谱可能不一样) 证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA
11、*. xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0. (2): 对AA*的任意非零特征值有 AA*x=x,x0. 于是 A*A(A*x)=(A*x). 因 x0,故A*x0,从而得证AA*的任意非零特征值也是A*A的非零特征值. 同理可证:A*A的任意非零特征值也是AA*的非零特征值.,习题3-27(2)另一解法,证:不难验证下列矩阵等式: 因S= 可逆,故 从而det(E-AA*)=0与det(E-A*A)=0有相同非零解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.,习题3-28设A为正规矩阵.试证:若Ar=0,则A=0.若A2=A,则A*=A.,证:因为A是正规矩阵,所以存在U
12、Unn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,n.后者又蕴涵 1=n=0. A=Udiag(0,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,n. 后者又蕴涵i=0或1, i=1,n,(即正规矩阵A的特征值全为实数). A*=Udiag(1,n)U*=A.,习题3-30,#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn. 证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵,并且满足A
13、=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.,习题3*1试证：向量长度的齐次性,#3*1:试证 证:令=(a1,an)T ,则 k=(a1,an)T,习题3*2试证：在酉空间V中成立广义商高定理,#3*2:试证 1,kV &(i,j)=0,ij 或等价地(1+k,1+k)=(1,1)+(k,k) 证:对k用归纳法证明.k=2时,有 (1+2,1+
14、2)2=(1,1)+(1,2)+(2,1)+(2,2) =(1,1)+(2,2) 若k-1时结论成立,则 (1+k-1,k)=0 (1+k,1+k)=(1+k-1)+k,(1+k-1)+k) =(1+k-1,1+k-1)+(k,k) =(1,1)+(k,k)+(k,k),习题3*3令1=(1,1,1,1)T,2=(3,3,-1,-1)T, 3=(-2,0,6,8)T,求Span1,2,3的标正基,解: 1,2,3就是所要求的标正基.,习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+(2n-1)2=n2,证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立 1+3+5+(2n-3)=(n-
15、1)2 则 1+3+5+(2n-1)2 =1+3+5+(2n-3)+(2n-1) =(n-1)2+(2n-1) =n2-2n+1+2n-1 =n2,习题3*6,试证: 为正规矩阵 解 所以A为正规矩阵. 易见:A不是对角阵且 A*A和A*-A 因此,A不是Hermite矩阵,也不是反Hermite矩阵.,习题3*7证明:对任意正定矩阵A,任意正整数k 都有正定矩阵S 使 Sk=A,证:因为A是正定矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是全为正数.令 S=Udiag(11/k,n1/k)U*, 其中i1/k是正数i的k次算术根,也全为正数.由此推出: Sk=A
16、,并且S酉相似于对角元全为正数的对角矩阵,从而得证S是正定Hermite矩阵,习题4-1(1),4-1:求 A= 的满秩分解. 解1: A = C A=BC, B=(A5,A3,A1)=,习题4-1(1),4-1:求 A= 的满秩分解. 解2: A = C A=BC, B=(A1,A2,A3)=,习题4-1(2),4-1(2):求 A= 的满秩分解. 解: A = C A=BC, B=(A1,A3)=,习题4-2,求 A= 的奇异值分解. 解: A的奇异值是:2,1; =diag(2,1) AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是 (1/2,1/2,0)T, (1,0,0)T,A的奇异值分解
17、是:,习题4*1A与B酉等价A与B奇异值相同,必要性: A=UBV AA*=UBVV*B*U*=UBB*U* BB* AA*与BB*有相同的特征值集,得证A与B有相同的奇异值集. 充分性:作A,B的奇异值分解 A=UDV*,B=U1DV1*,D=diag(,0), 其中,是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵.于是 U*AV=D=U1*BV1 A=(UU1*)B(V1V*) 因酉矩阵的乘积 UU1*,V1V* 仍为酉矩阵,故上式表明A酉等价于B.,习题4*2,4*2: 设ACrmn,UUmm,VUnn使 B=U*AV=diag(,0),=diag(b1,br), (*) 则|b1|,|br|为
18、A的全部正奇异值. 证: U*AA*U=BB*=diag(*,0) 写成2不对！ =diag(|b1|2,|br|2,0,0) AA* |b1|,|br|为A的全部正奇异值.,奇异值分解定理另一(更强)表述,定理: 令1,r为ACrmn的全部正奇异值; =diag(1,r),则有UUmm,VUnn使 U*AV= =DCrmn (*) 反之,若有UUmm,VUnn使(*)成立,其中=diag(d1,dr),i,di0,则d1,dr为A的全部正奇异值.(奇异值分解的某种唯一性) 证: AA*=U V*V U*=U U* diag(d12,dr2,0,0) d1,dr为A的全部正奇异值. 注:后半部
19、等价于补充题4*2.,4*3已知A奇异值求AT,A*,A-1的奇异值,补充题4*3: 令1,r为ACrmn的全部正奇异值; =diag(1,r),则有UUmm,VUnn使 A=U V*=Udiag(,0)V* (*) 易见 A*=Vdiag(,0)U* AT=(Udiag(,0)V*)T=(V*)Tdiag(,0)UT 1,r为A*,AT, 的全部正奇异值(利用奇异值分解定理的更强表述). A-1=(UV*)-1=V-1U*=Vdiag(1-1,n-1)U* 1-1,n-1为A-1的全部正奇异值.,习题#5-1(2),试证:x,yV,xy|x-y|. 证：首先x=(x-y)+yx-y+y x-
20、yx-y. 其次x-y=-(y-x)=y-x y-x= -(x-y) x-y|x-y|. 此外 x+y=x-(-y) |x-y|=|x-y| xy|x-y|.,习题#5-2试证A= n maxi,j|aij|是矩阵范数,A=(aij)Cnn 证: 非负性,齐次性显然 三角不等式: A+B= n maxi,j|aij+bij| n maxi,j|aij|+n maxi,j|bij|=A+B 相容性: AB= n maxi,j|ai1b1j+ainbnj| n2 maxi,t|ait| maxtj|btj| =n maxi,j|aij|(n maxi,j|bij|)=AB,习题#5-3设是诱导范数
21、detA0,试证: ACnn,A-1A-1和 A-1-1= minx0(Ax/x). 证: 1=E=AA-1AA-1 detA0 A0 A-11/A=A-1. A-1= maxx0(A-1x/x) = maxy0(y/Ay) y=A-1x0 x0 = maxy0(1/(Ay/y) = 1/miny0(Ay/y) A-1-1= minx0(Ax/x).,同一向量的三种范数之间的大小关系,习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成立 x x2 x1 nx nx2 nx1 n2x 证: x= max|x1|,|xn| (i=1n|xi|2)1/2 = x2 (|x1|+|xn|)2)1/2 = x1
22、 n max|x1|,|xn| = nx,习题#5-6ACnn是正定矩阵,xCn,证明:x=(x*Ax)1/2 是向量范数. 解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B使得A=B*B.则x的上述表示式可写为: x=(x*Ax)1/2 =(Bx)*(Bx)1/2 =Bx2 其中2 是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性质:x=0 Bx=0,即可直接推出非负性. kx=B(kx)2=|k|Bx2=|k|x 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: x+y=B(x+y)2Bx2+By2,#5-6 A正定,定义xCn,x=(x*Ax)1/2,试证: 是一个向量范数. 解2:验证矩阵范数3条公理成
23、立.前两条显然成立.只须证三角不等式. x+y2=(x+y)*A(x+y)=(x*+y*)(Ax+Ay) =x*Ax+y*Ay+x*Ay+y*Ax =x2+y2+2Re(x*Ay) 令B为A的正定Hermite平方根:A=BB,则 x*Ay=x*BBy=(Bx)*(By)=(Bx,By) 标准内积 由Cauchy-Schwarz不等式 |2Re(x*Ay)| 2|x*Ay| 2(Bx,Bx)1/2(By,By)1/2 = 2xy x+y2 (x+y)2, 得证所需结论.,习题#5-7,试找一个收敛的2阶可逆方阵序列其极限矩阵不可逆 解:下列矩阵序列满足所提条件: Ak的行列式都大于0,故可逆,
24、但极限矩阵是行列式不为0的不可逆矩阵:,习题#5-9 计算矩阵幂级数,试计算幂级数: 解1:利用Jordan标准形B=Pdiag(.5,-.3)P-1,P= 解2:利用谱半径小于1的矩阵性质,(B)=0.51. E+k=1Bk=(E-B)-1= 答案是k=1Bk = 解3: 也可利用 (B)B1=B=0.91,补充题5*1,A= (i)试用归纳法证明: 解:k=1时结论显然成立.设k时结论已成立,来证k+1时结论必成立. (ii):求(Ak);Ak1;Ak 解: (Ak)=ak;Ak1=Ak=ak+kak-1,补充题5*1,已知 A= (iii):求A2 解:,补充题5*2,试证:若k=1Ak
25、绝对收敛;且 则k=1Bk绝对收敛. 解:k=1Ak绝对收敛蕴涵对任意i,j正项级数 收敛,从而由正项级数比较判别法,对任意i,j,正项级数 收敛,从而得证矩阵级数k=1Bk绝对收敛.,补充题5*3,已知 幂级数k=0Ak是否收敛? 若收敛,又收敛于什么矩阵? 解: 所以,k=0Ak绝对收敛于下列矩阵:,补充题5*4,试证:矩阵幂级数 对一切ACnn绝对收敛. 解:因它所对应的数项幂级数 的收敛半径是 所以,对一切ACnn 绝对收敛.,补充题5*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛?,(1): 解:因A是上三角矩阵,不难看出它的特征值是1和2,从而其谱半径是:21=R. 所以,此矩阵幂级数发散. (2
26、): 解:因A1=MAX0.9,0.8,0.9=0.91=R,补充题5*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛?,(3) 解1:此矩阵幂级数对应幂级数的收敛半径 因A=MAX1.7,1.9=1.9R发散？） 解2:此矩阵幂级数等价于 而的矩阵幂级数绝对收敛(B=0.951).,习题#6-5求已知矩阵A的最小多项式,已知 A= 解I: 解II: A()=dn()=Dn()/Dn-1() =(-1)3/(-1)=(-1)2,习题#6-5求已知矩阵A的最小多项式,已知 A= 解I: 因 A+E 和 A-2E都 0,并且(A-2E)(A+E)= 0,故A()=(-2)(+1),习题#6-5求已知矩阵A的最小多项
27、式,已知 A= 解II: A()=dn()=Dn()/Dn-1() =(-2)(+1)2/(+1)=(-2)(-1),习题#6-6已知矩阵A求f(A)的Jordan表示式,已知 A= 解: 因 (A-E)(A-2E) 0,故A()=(-1)(-2)2,从而得A的初等因子为: -1,(-2)2.设变换矩阵为P=(1,2,3),则 A(1,2,3)=(1,2,3) 给出(A-E)1=0,(A-2E)2=0,(A-2E)3=2 解这些方程组求得 P=(1,2,3)=,习题#6-6续,: :,注: f(x)=arctg(x/4) f(x)=,补充题#6*1 已知A和p(),求p(A),已知 A= p(
28、)=4-23+-1,f()=12-411+410-+3 解I:易见的特征多项式D()=(-2)3. (A-2E)2=0&A-2E0 A()=(-2)2=2-4+4 p()=(2+2+4)(2-4+4)+9-17 p(A)= 0+9A-17E = f()=10(2-4+4)-+3 p(A)= 0-A+3E =,解II:由D()=(-2)3.和A()=(-2)2=2-4+4 A有Jordan标准形 并有变换矩阵P满足,补充题#6*2求已知A的Jordan标准形用于计算,已知 A= 求 etA,Sin(A) 解: det(E-A)=(-3)(+3)+8=2-1 从而得A的初等因子为: -1,+1.设
29、变换矩阵为P=(1,2),则 A(1,2)=(1,2) 给出(A-E)1=0,(A+E)2=0. 解这些方程组求得 P=(1,2)=,补充题#6*2续,: :,补充题#6*2续,注:也可直接计算 Sin(A).,习题#8-1 求已知矩阵A的全部减号逆,已知 A= 求它的全部减号逆 解:,习题#8-2 求已知矩阵A的加号逆,已知 A= 求它的加号逆 解:显然,A是满行秩,有秩分解:A=E3A,A+=A*(AA*)-1,习题#8-4 证明有关加号逆的等式,证明: AA+=AA*(AA*)+=(AA*)+(AA*) 解: A+=A*(AA*)+ 定理8.3.3 AA+=AA*(AA*)+ AA+=(
30、AA+)*=(AA*(AA*)+)* =(AA*)*)+(AA*)* *与+可交换 =(AA*)+(AA*),习题#8-4证明有关加号逆的等式,证明: 若A*=A,则 AA+=A+A 解I: A+A=(A+A)*=A*(A+)* =A*(A*)+ =AA+ 解II:(AA*)(AA*)+=AA*(A+)*A+ 用了定理8.3.3 =A(A+A)*A+=AA+AA+=AA+ (AA*)(AA*)+=(AA*)+(AA*) 加号逆是3逆 =A+A+AA=A+(A+A)*A =A+A*(A+)*A=A+AA+A =A+A,补充题#8*1 求已知矩阵A的减号逆,已知 A= 求它的全部减号逆 解:,补充
31、题#8*2,试证: ACmn的减号逆是Cnm的任一矩阵,当且仅当A是零矩阵. 解: 必要性显然,因为若A的减号逆是零矩阵推出A也是零矩阵:A=A0A=0. 充分性 当A=0时,因为 XCnm,0=0X0, 所以,X=A-.,补充题#8*3,试证: V,WCnm, X=A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)WCnm 是=ACmn的减号逆. 解:直接验证 AXA=A(A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)W)A =AA-A+AVA-AVAA-A+AWA-AA-AWA =A+AVA-AVA+AWA-AWA =A,补充题#8*4完成定理8.2.1的证明,定理8.2.1:设ACrmn,A=BC为
32、满秩分解,则 A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B* 是A的一个加号逆 证:直接验证 AA+A=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=BC=A A+AA+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BCC*(CC*)-1(B*B)-1B* =C*(CC*)-1(B*B)-1B*=A+ AA+=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=B(B*B)-1B* 和 A+A=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=C*(CC*)-1C 都是Hermite矩阵 (AA+)*=(B(B*B)-1B*)*=B(B*B)-1)*B*=B(B*B)-1B*=AA+,补充题题#8*5 求已知矩阵A的加号逆,已知 A= 求它的加号逆 解I: A显然是列满秩,故 A+=(A*A)-1A*=,补充题题#8*5 求已知矩阵A的加号逆,已知 A= 求它的加号逆 解II:,祝大家考试顺利通过！,Happy 牛 year！,