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1、3.流体运动学,3.1 流体运动的描述方法,3.2 流体质点的加速度、质点导数,3.3 流体运动的基本概念,2.5 流体微元的运动分析,2.4 连续性方程,3.1 流体运动的描述方法,流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量 (如速度、加速度等) 均应是空间点的坐标和时间的连续函数。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。,拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
2、,加速度：,速度：,欧拉法是考察通过固定空间位置点的不同液体质点的运动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些情况即可了解整个液流的运动变化规律。 设在某一瞬时，观察到流场中各空间点上液体质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场，若求得各瞬时的流速场，就可得流速场随时间的变化。因此，流速应该是空间点坐标（x、y、z）和时间t的函数，即：,各方向的分量为：,加速度：,应用欧拉法时，常在流场中选取一固定空间区域来观察流体的运动。这个固定空间称为控制体，它的边界称为控制面。控制体的位置、形状，体积相对于坐标系均固定不变，流体质点可以流进或流出控制面。,3.2 流体质点的加速度、质点导
3、数,流体质点的加速度,同理：,表示在某一固定空间点上，液体质点速度对时间的变化率。也就 是在同一地点，由于时间变化而引起的加速度，称为当地加速度。 其余几项表示液体质点在同一时刻因地点变化而引起的加速度，称为 迁移加速度。,哈密顿算子,随体导数,3.3 流体运动的基本概念,流动的类型,按照流体性质划分：,可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动； 理想流体的流动和粘性流体的流动； 牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；,按照流动特征区分：,有旋流动和无旋流动；层流流动和湍流流动； 定常流动和非定常流动； 超声速流动和亚声速流动；,按照流动空间区分：,内部流动和外部流动； 一维流动、二维流动和三维流动；
4、,定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow),流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。,一维流动、二维流动和三维流动,一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。 对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。,二维流动一维流动,三维流动二维流动,流线与迹线,（1）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度 矢量与曲线相切。,流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程
5、度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。,性质：一般情况下不相交、不折转,流线微分方程,（2）迹线质点运动的轨迹,迹线微分方程：对任一质点,迹线微分方程,迹线和流线： 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。 在定常流情况下，流线不随时间变，迹线将沿着流线走，两者重合。,流管在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。 流束充满流管的一束流体。 微
6、元流束截面积无穷小的流束。 微元流束的极限是流线。,流管和流束,微元流束和流线的差别： 流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等； 流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。 总流截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。,元流与总流,元流过流断面无限小的流束 总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成,流量,体积流量 质量流量 不可压缩流体,均匀流动、非均匀流动,均匀流动,非均匀流动,根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。,缓变流和急变流,缓变流 流束内流线
7、的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行 直线的流动。否则即为急变流。,缓变流,缓变流,缓变流,急变流,缓变流,缓变流,急变流,急变流,急变流,急变流,有效截面 流量 平均流速,有效截面 在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。,质量流量（ ）：,流 量 在单位时间内流过有效截面积的流体的量。,体积流量（ ）：,平均流速 体积流量与有效截面积之比值。 一般地不加下标a，直接用 v 表示。,圆形截面管道的当量直径:,湿周 水力半径 当量直径,湿 周 在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。,水力半径 总流的有效截面积A和湿周之比。,非圆形截面管道的当量直径:,当量直径 四倍水力半径。,d
8、e 4R,de d,管束：,矩形管道：,环形截面管道：,3.4 连续性方程,沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为：,从右边微元面积dydz流出的流体质量为：,沿x轴方向流体质量的变化，即,在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为：,设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为：,在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为：,根据连续性条件，可得：,若流体是定常流动，则 ，上式成为,可压缩流体定常三维流动的连续性方程,可压缩流体非定常三维流动的连续性方程,不可压缩流体三维流动的连续性,在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流
9、量与流出的体积流量相等。,连续性方程在柱坐标系中的表示式为 ：,对于不可压缩流体,球坐标系中的表示式为:,总流的连续性方程,根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A1 流入控制体的流体质量等于通过A2 流出控制体的流体质量。,定常条件下： 总流管的形状、位置不随时间变化。 总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。,通过定常总流两个过流断面的质量流量相等,对不可压缩流体，通过定常总流两个过流断面的体积流量相等,2.5 流体微元的运动分析,流体与刚体的主要不同在于它
10、具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。,刚体 平移、旋转 流体 平移、旋转、变形（线变形、角变形）,平移运动,流体微团平面运动速度,由图可知，微团上A、B、C、D各点的速度分量中均有u 和 v 两项，如果沿相互平行的直线流线以恒定速度流动，流体仅作平移运动。在经过dt 时间后，矩形微团ABCD向右、向上分别移动 u dt、 v dt 距离，即平移到新位置，形状不变。,定义单位时间内单位长度流体线段的伸长(或缩短) 量为流体微团的线变形速率，则沿轴方向的线变形速率为：,线变形
11、运动,比较B与A、C与D点在 x方向及D与A、C与B点在 y方向的速度差可得： ， ； ， 。由此可知，流体线段 和 在dt时间内将伸长(或缩短) ，同样， 和 线段将伸长(或缩短) 。,同理y轴方向和z轴方向的线变形速率分别为：,将x、y、z方向的线变形速率加在一起，有：,对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。,两正交流体边和在dt时间内变化了( + )角度。微元角度和可由下列公式求得,向的速度不同，致使流体边在dt时间内逆时针转动了 角度。
12、,角变形运动,比较D和A、C和B在x方向及B和A、C和D在y方向的速度差可得：,，,；,，,由于D点和A点、C点和B点在x方向的运动速度不同，致使 流体边在dt时间内顺时针转动了 角度；由于B点和A点、C点和D点在y方,通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度，而把该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量(角变形速度的平均值)定义为剪切变形速率。则在xy平面上，将流体微团的剪切变形速率记为 ( )，因此有：,同理，也可得到 yz 平面和 zx 平面上的剪切变形速率 和 。于是，过流体微团任一点A的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为,用 表示流体微团旋转角速度的大小，
13、其定义为：过流体微团上A点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作A点流体,旋转运动,由图可知，流体微团在dt时间内出现了角变形运动。若微元角度 = ，则流体微团只发生角变形；若 =- ，即 ，则流体微团只发生旋转，不发生角变形，如图所示。一般情况下， ，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。,微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。在xy平面上，过A点两正交流体边 和 ， 边在dt时间内逆时针旋转了微元角度 ， 边在dt时间内顺时针旋转了微元角度 ，,通常规定以逆时针旋转为正，则该两条正交微元流体边在xy平面内的旋转角速度的平均值为 ，于是得流体微团沿轴方向的旋转角速度分量为,0，无旋运动,0，有旋运动,解： 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程，得到： 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。,例题 31,有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。,解：由速度分布可得： 故： 故此流动不满足连续性方程。,例题 32,假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为U= 3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否满足连续性方程。,