工程运动学基础.ppt

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1、 第第1515章章 工程运动学基础工程运动学基础 运动学（运动学（kinematics) kinematics) 研究研究 物体物体在空间在空间运动运动时，其时，其几何性质随时间随时间 的变化规律的变化规律 点 刚体 轨迹运动方程 速度加速度等 参考系（体 ） 地球 运动学 点的合成运动 点的曲线运动 刚体运动 点的运动 刚体的平动 刚体的定轴转动 刚体的平面运动 刚体的一般运动 第第1515章章 工程运动学基础工程运动学基础 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 15-1-1 参考系 15-1-2 位矢、速度和加速度及其变 矢量性质 参考体参考系 15-1 15-1 点的运动学点的运动学

2、 矢量表示法矢量表示法 直角坐标表示法直角坐标表示法 自然表示法自然表示法 雷达跟踪飞机 例子 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 1 1 矢量表示法矢量表示法 选取参考系上某一确定点为坐标原点，由点向动点 作矢量r， r称为动点对于原点的位置矢或矢径。当 动点运动时，矢径r的大小和方向都随时间而变，即 图5-1用矢量描述点的位置和速度 它表明了动点在空间的位置随 时间变化的规律。 设动点在空间作曲线运动。 运动方程 设从瞬时t到瞬时tt ，动点的位置由M改变到M ，其矢径分别为r和r，在t 时间内，矢径的改变量r即 为动点在t时间内的位移。 位移 1 1 矢量表示法矢量表示法 当t时，

3、平均速度的极限值称为动点在瞬时t 的速度，即： 动点的速度等于其矢径对于时间的一阶导数。 速度 1 1 矢量表示法矢量表示法 当t时，平均加速度的极限值称为动点在瞬时t 的加速度，即 加速度 1 1 矢量表示法矢量表示法 动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也 等于它的矢径对于时间的二阶导数。 如果把不同瞬时动点的 速度矢量v的始端依次画在 某一固定点上，这些速度 矢的末端将描绘出一条连续 的曲线，称为速度矢端线， 如图所示。 动点的加速度方向沿着 速度矢端线的切线方向。 1 1 矢量表示法矢量表示法 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 选取一直角坐标系Oxyz，则动点的位置可用它的

4、 三个直角坐标x，y，z来确定，点运动时，三个坐标 都是时间t的函数，即 x=f1(t) y=f2(t) z=f3 (t) 运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系 速度 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 加速度 可见，若已知动点的运动方程，通过对时间求一阶、 二阶导数，可求出动点的速度、加速度；反之，已知 动点的加速度和运动的初始条件，通过积分可求出动 点的速度方程、运动方程和轨迹方程。 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动 ），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心的速度为 v0(t)， 1. 分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速 度和

5、加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径； 2. 讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度 分布。 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 解：1.建立坐标系0xy 取点M所在的一个最低位置为原 点o，设在任意时刻t圆盘转过的 角度为CAM=， 为时间t的 函数，C是圆盘与轨迹的接触点 ，由于圆盘作纯滚动，所以， 于是M点的运动方程为 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 于是M点的运动方程为 点M的速度分量为 点M的加速度分量为 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 解： 2. 建立 和 与圆盘 中心A点的速度v0(t)之间的 关系。 因为圆盘沿直线轨道作纯滚 动，故轮心A点作

6、水平直线 运动，所以有 将其对t求一次导数可得 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 再对t求一次导数可得 这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 M点的速度大小为 方向由下式确定 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 从图中的几何关系可以证明 ： 于是，纯滚动时轮上各点 的速度如图所示。 当=0和=2时，M点与 地面接触，此时M点的速度 为零。 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 当=0和=2时， 加速度可由式 求得 当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于0， 方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此时的切向 加速度，因为此时速度为0，故其法向加速度为0

7、 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 3. 确定M点的轨迹在最高点处的 曲率半径。 由于当=时，M点的速度 和加速度分别为： M点轨迹在最高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲， 所以主法线方向与-j同向。于是，法向加速度的大小为： 这时M点的速度为v=2v0，于是，轨迹在最高点处的曲率 半径为： 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 4. 讨论 根据式 若v0为常矢量，则为常量，此时由式 M点加速度大小恒为： M点加速度的方向由下式确定 ： 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 这时轮缘上M点的加速度方 向均指向轮心A; 此时的加速度既非切向加速 度，也非法向加速度，而是 这两种加速度的矢

8、量和; 若V0不为常矢量，则加速度 方向并不指向轮心。 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 例 椭圆规的曲柄OA可绕定 轴O转动，端点A以铰链连接于 规尺BC；规尺上的点B和C可 分别沿互相垂直的滑槽运动， 求规尺上任一点M 的轨迹方程 。 A C B y O x Mx y 已知: 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 运 动 演 示 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 考虑任意位置， M点的坐标 x ，y可以表示成 消去上式中的角，即得M点的 轨迹方程: 解: A C B y O x Mx y 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨 迹 演 示 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 思

9、考题：M点的轨迹曲线如何 ？ 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨 迹 演 示 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 例 在上例的椭圆规尺BC上固 连一个半径是a/2的圆盘，圆心 重合于A。求圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已 知角=k t,其中k 是常量。 y x A B C O MM 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 运 动 演 示 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 y x A B C O MM 取固定坐标系Oxy，令 MAC =2,则 M 点在Oxy中的 坐标为 解: 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 将=kt代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M的 运动方程。另

10、外，由上式可以看出，两个坐标x，y成 正比，即 故 M点的轨迹是斜率为tan并通过坐标原点的直 线，上式即为其轨迹方程。 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 轨 迹 演 示 2 2 直角坐标表示法直角坐标表示法 3 3 自然表示法自然表示法 运动方程 设动点的轨迹为如图所示曲线。在曲线上选定 一点为原点，则动点的位置可以由弧坐标s确定。 弧坐标s是时间t的单值连续函数，可表示为 ss（t） 如图，直线MQ( 平行于 MT)与MT构成一平面P， 当M向M趋近时，MT不动， MT的方位则不断改变，相 应地，MQ的方位也不断改变， 从而平面P的方位也在变化 ，绕着MT不断地转动。当M 无限趋近于M

11、，平面P趋近于 一极限位置P。在这极限位置 的平面P称为曲线在点的密 切面。 自然轴系 3 3 自然表示法自然表示法 在法面内，过点 的所有直线都是曲线在 点的法线。在密切面 内的法线称为主法 线；与密切面垂直的法 线则称为副法线。 点的切线、主法线与 副法线构成了一组正交 轴系。 过点并垂直于切线的平面称为曲线在 点的法面，如图所示。 3 3 自然表示法自然表示法 规定：切线的正向与弧坐标的正向一致，其 单位矢量用et表示；主法线的正向指向曲线的凹 处，其单位矢量用en表示；副法线的单位矢量用 eb表示；它与et，en形成右手系，即 et en = eb 这个以et、 en 、 eb确定的正

12、交系称为自然轴系。 注意：et、 en 、 eb的方向随着点的位置不同而 改变。 3 3 自然表示法自然表示法 速度、加速度 速度矢量可作如下变换 速度的大小 由于 3 3 自然表示法自然表示法 速度的方向是当t0时， r的极限方 向，即沿轨迹在点的切线方向，于是得到 动点的速度沿其轨迹的切线方向，其大小 等于弧坐标对时间的一阶导数。 3 3 自然表示法自然表示法 加速度 第一个分量 是由于速度大小的改变而有的 ，其方向沿轨迹在点的切线，称为切向加速度。 3 3 自然表示法自然表示法 第二个分量 是由于速度方向的改变而有 的，为了确定它的大小和方向，先分析 3 3 自然表示法自然表示法 的方向

13、显然是et的极限方向，当t0 时， et在密切面内与et垂直，指向曲线的凹侧。 这个分量是由于速度方向的变化而产生的，其方 向与en的方向一致，称为法向加速度。 加速度a的第二个分量为 3 3 自然表示法自然表示法 动点加速度表达式 动点的加速度在密切面内，等于 切向加速度与法向加速度的矢量和。 3 3 自然表示法自然表示法 销钉B可沿半径等于R的 固定圆弧滑道DE和摆杆的直 槽中滑动，OA=R=0.1 m。已 知摆杆的转角 （ 时间以s计， 以rad计），试 求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的 加速度。 R O R E D B C s OA -s +s 3 3 自然表示法自然表示法

14、运 动 演 示 3 3 自然表示法自然表示法 R O R E D B C s OA -s +s 已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R 。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则 B点在任一瞬时的弧坐标 但是，由几何关系知 ，且 ，将其代入上式，得 这就是B点的自然形式的运 动方程。 解： 3 3 自然表示法自然表示法 R O R E D B C s OA -s +s B点的速度在切向上的投影 vt B点的加速度 a 在切向的投影 而在法向的投影 3 3 自然表示法自然表示法 当 时， ， ，又 ， 。可见， 这时B点的加速度大小 A D B1 B2 R 1 E 且a1沿切线

15、的负向。 当 t1= 1 s 时， 又 可见 ，这时点B的加速度大小 且 a2 沿半径 B2A。 a2=a1n a1=a1t 3 3 自然表示法自然表示法 x y r M0 N(x,y) M z O 圆柱的半径为r，绕铅直 固定轴 z 作匀速运动，周期 为 T 秒。动点M以匀速 u 沿 圆柱的一条母线NM运动（如图 ）试求M点的轨迹、速度和加 速度，并求轨迹的曲率半径。 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 运 动 演 示 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 x y r M0 N(x,y) M z O 取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位 置，当圆柱转动时，角M0O

16、N等于 ，故M点的运 动方程为 轨迹方程为 此为螺旋线方程。 解： 1. M点的运动方程和轨迹。 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 轨 迹 演 示 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 x y r M0 N(x,y) M z O v v 2. M点的速度。 对运动方程求导得 速度在平面Oxy上的投影大小等于 常数 速度与圆柱母线的交角 不变。 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 x y r M0 N(x,y) M z O vx vy vz v a m r u v 速度矢端线是一个半径为r的圆周曲线，平行 于Oxy面。 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 x x y y

17、r r MM 0 0 N(x,yN(x,y) ) M M z z O O 3. 点M的加速度 对速度方程求导得 因az= 0，故加速度 a 垂直于 z 轴 加速度 a 的方向指向 z 轴。 v v a a 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 4. 曲率半径 曲率半径 曲率半径为常数 15-1 15-1 点的运动学点的运动学 15-2 15-2 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 15-2-2 定轴转动 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 刚刚体运动时动时 ，如其

18、上任一直线线始终终保持 与其初始位置平行，则则称这这种运动为动为 平行移 动动，简简称平移。 如电电梯的升降运动动; 在直线轨线轨 道上行驶驶的 列车车的车厢车厢 的运动动等。 若平动刚动刚 体上任一点的轨轨迹是直线线，称为为 直线线平移；若是曲线线，则则称为为曲线线平移。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 平移实例 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 在平移刚体上任取两点A和B，并作矢量rB、rA 和rBA。由于刚体作平行移动，所以 rBA的大小、方 向保持不变，为一常矢量。 rA=rB+rBA 因此，在运动过程中 ， A、B两点的轨迹曲 线形状完全相同。 刚体

19、的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 对时间t求导数，得到 即 vA=vB ，aA=aB 刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在 同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。 既然平移刚体上各点的运动规律相同，因 此，只要知道其中任一点的运动就知道整个刚 体的动。 刚体的平行移动简化为一个点的运动研究 。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为l，长度单位为m。当荡 木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；

20、 转角0的单位为rad，试求当 t=0和t=2 s时，荡木的中点M 的速度和加速度。 O A B O1 O2 l l （+） M 由于两条钢索O1A和O2B的 长度相等，并且相互平行，于 是荡木AB在运动中始终平行于 直线O1O2，故荡木作平移。 以最低点O为起点，规定弧坐标s向 右为正，则A点的运动方程为 将上式对时间求导，得A点的速度 解： O A B O1 O2 l l （+） M 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 vm vAamaA 再求一次导，得再求一次导，得A A点的切向加速度点的切向加速度 代入代入t t = 0= 0和和t t = 2= 2，就可求得这两瞬时，就

21、可求得这两瞬时A A点的速度和加速度，亦即点的速度和加速度，亦即 点点MM在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下： A A点的法向加速度点的法向加速度 O O A A B B O O1 1 O O2 2 l l l l （+ +） MM 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-1 平移 0 0 0 0 0 0 2 （铅直向上）（铅直向上） 0 0 （水平向右）（水平向右） 0 0 0 0 a an n ( (msms 2 2 ) ) a a t t ( (msms 2 2 ) ) v v ( (msms 1 1 ) ) (rad(rad) )t

22、t (s)(s) 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 若刚体运动时，体内或其扩展部分有一直线 保持不动，这种运动就称定轴转动。 运动方程、角速 度和角加速度 位置角 的符号规定： 从z轴的正向朝负向看去 ，沿逆时针量取为正值 ，反之为负值。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 角速度 角加速度 若与符号相同，则的绝对值随时间而 增大，刚体作加速转动；若相反，则刚体作减 速转动。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于 转动轴的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上 。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-

23、2 定轴转动 在任一瞬时，M点的切向加速度at的代数值为 M点的法向加速度an的大小为 M点的总加速度a的大小为 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 用表示a与OM（即an）之间的夹角，则 结论：在同一瞬时，刚体内各点的速度和 加速度的大小与各点到转动轴的距离成正比。 在同一瞬时，刚体内所有各点的总加速度 与其法向加速度的夹角相同。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 直径MN上各点的速度和加速度的分布如图所示 。 1. 齿轮传动 啮合条件啮合条件 传动比 互相啮合的两齿轮的角 速度（或转速）与齿数成反 比。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴

24、转动 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 两个带轮的角速度（或转速）与半径成反比 。 2. 带轮传动 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不 可伸长的细绳，绳的一端挂有 物体A（如图），已知滑轮绕 轴O的转动规律=0.15t3 ，其 中t以s计， 以rad计，试求 t=2s时轮缘上M点和物体A的 速度和加速度。 A O M 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 首先根据滑轮的转动规律，求得它的首先根据滑轮的转动规律，求得它的 角速度和角加速度角速度和角加速度 代入代入 t t =2 s=

25、2 s， 得得 轮缘上轮缘上 M M 点上在点上在 t t =2 s =2 s 时的速度为时的速度为 vM A O M 解 ： 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 A O M 加速度的两个分量加速度的两个分量 vM 总加速度总加速度 a aM M 的大小和方向 的大小和方向 at an aM 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 A O M 因为物体因为物体A A与轮缘上与轮缘上MM点的运动不同，点的运动不同， 前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动 ，因此，两者的速度和加速度都不完全相同，因此，两者的速度和加速度都不完全

26、相同 。由于细绳不能伸长，物体。由于细绳不能伸长，物体A A与与MM点的速度点的速度 大小相等，大小相等，A A的加速度与的加速度与MM点切向加速度的点切向加速度的 大小也相等，于是有大小也相等，于是有 vM at an a 它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。 vA aA 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 图示为一对外啮合的圆柱齿 轮，分别绕固定轴O1和O2转动， 两齿轮的节圆半径分别为r1和r2， 已知某瞬时主动轮的角速度为1 ，角加速度为1，试求该瞬时从 动轮 的角速度2和角加速度2 ，为简便起见，本例的1，2， 1，2都代表绝对值。 O1 O2 M1 M2 1

27、2 1 2 r2 r1 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 O1 O2 M1 M2 1 2 1 2 r2 r1 齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动， 因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度 。即 v1 v2 a2t a1t 或 因而从动轮的角速度和角加速度分别为因而从动轮的角速度和角加速度分别为 显然，显然， 2 2 ， 2 2 的转向分别与的转向分别与 1 1 , , 1 1 相反。相反。 传动比为传动比为 解解： 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 一、角速度与角加速度的矢量表示 当刚体加速转动时，当刚体加速转动时， 与与

28、 同向；反之，则反向。同向；反之，则反向。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 二、速度和加速度的矢积表达式二、速度和加速度的矢积表达式 将角速度与角加速度用矢量、表示以后，转动刚体上 任一点M的速度、切向加速度和法向加速度都可以用矢积来 表示。 从转轴上的点O作M点的矢径 r=OM，并以表示r与z轴的夹角， 点 为圆心，为半径。在转动过 程中，r的模不变，但其方向是不断 改变的。 v =r 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 将上式代入矢量表示式 中，可得点的加速度为 方向与at一致 方向与an一致 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 刚

29、体作定轴转动时，体内任一点的速 度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积 ；任一点的切向加速度等于刚体的角加速 度矢与该点矢径的矢积；任一点的法向加 速度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢 积。 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 刚体以角速度绕 定轴Oz转动，其上固 连有动坐标系Oxyz （如图），试求由O 点画出的动系轴向单 位矢i，j，k 端点A ，B，C的速度。 z x z y i j k A B C O 先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则 A点的速度为 A点是定轴转动刚体内的一点， 由式有 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 可见 但这里有 故 解：解： z x z y i j k A B C O 刚体的简单运动刚体的简单运动 15-2-2 定轴转动 于是得到一组公式 它称为它称为泊松公式泊松公式。 z x z y i j k A B C O 15-1 15-1 点的运动学点的运动学