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1、结构动力计算（二）,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,Goals 运动微分方程的建立和求解 振型向量的概念 自由振动频率和振型计算 多自由度体系的强迫振动 无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度体系的自由振动 柔度法：受力分析,多自由度和无限自由度体系的振动,柔度法：动力平衡方程 思路：自由振动的任一时刻各质量块的位移应等于该时刻各惯性力的共同作用所产生的位移。即 两自由度的体系有,多自由度和无限自由度体系的振动,柔度法：微分方程求解 结构动力计算感兴趣的是各质量块按相同的频率和相同的相位角作简谐振动的自由振动解，即所谓体系的固有振动。 设
2、多自由度动力平衡方程的解为（以两自由度体系为例）：,多自由度和无限自由度体系的振动,柔度法：微分方程求解 将简谐解代入动力平衡方程得 整理上述方程，得,多自由度及无限自由度体系的振动,上述方程记成矩阵形式,多自由度和无限自由度体系的振动,柔度法：微分方程求解 上述齐次代数方程组要有不全为零解则必须满足条件（Cramer rule） 令 并展开上式，得到关于 的二次方程,多自由度和无限自由度体系的振动,柔度法：微分方程求解 其解为 两根均为正的实根，可求得圆频率的两个值,多自由度和无限自由度体系的振动,刚度法：建立微分方程 两自由度体系有,多自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：建立微分方程,多
3、自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：建立微分方程 质量块所受的弹性力与结构的位移之间的关系为 一般来说，对任意多自由度体系有,多自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：建立微分方程 将弹性力表达式代入动力平衡微分方程，得 一般来说，对任意多自由度体系有,多自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：建立微分方程 记成矩阵形式 其中：,多自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：微分方程求解 同样令解为 代入到平衡微分方程（以两自由度体系为例）得,多自由度及无限自由度体系的振动,刚度法：微分方程求解 显然，上述齐次方程组有全不为零解的条件是 展开频率方程，得到用刚度系数表达的频率的解为,多自由度及无限自由
4、体系的振动,刚度法：微分方程的解,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度体系自由振动举例 Example 1:简支梁质量集中在两点处如图示，截面抗弯模量为常数，求自振频率。,多自由度及无限自由度体系的振动,分析：简支梁的柔度系数计算比较简单，用柔度法求解，（静定结构用柔度法方便）。 解： 计算结构的柔度系数,多自由度及无限自由度体系的振动,由图乘法得 计算圆频率 将柔度系数代入下式（注意到 以及 和 ）,多自由度及无限自由度体系的振动,简支梁的两个自由振动圆频率为 注意：频率按从小到大的顺序排列,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度体系自由振动举例 Example 2 横梁刚度为无穷大，
5、各层间刚度系数分别为 、 、 ，一、二、三层楼板处的质量分别为 、 、 。求结构的自振频率。 （说明： 所谓层间刚度系数即是使该层产生单位移而其它各层固定不动时所需的力）,多自由度及无限自由度体系的振动,Example 2,多自由度及无限自由度体系的振动,解： 求刚架的刚度系数及刚度矩阵 类似可求得其它系数，刚度矩阵为,多自由度及无限自由度体系的振动,写出质量矩阵 计算圆频率,多自由度及无限自由度体系的振动,其中 展开矩阵方程得 求得,多自由度及无限自由度体系的振动,对应的圆频率为,多自由度及无限自由度体系的振动,振型的概念 注意到无论是柔度法的位移协调方程还是刚度法的动力平衡方程，它们都是关
6、于位移的齐次方程，因而其解应该有无穷多组，即任一组解的线性组使都是该方程的解。结构的位移并不能给出具体值。通常只关心在同一频率下各质量的相对位置，即关于振动的形态。,单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。 I1=3.267 10-3m4, I2=2.6110-3m4, I3=1.30710-3m4,横梁I4=，材料弹性模量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,解: (1) 体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数,多自
7、由度及无限自由度体系的振动,（2）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程,多自由度及无限自由度的振动,令 则：,方程的实根为：,刚架的三个自振频率为：,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,（3）求振型 将计算的结果代入方程：,将 代入上式，令1（3）=1，展开任意两个方程可解得： 1(1)=0.3332 ， 1(2)=0.6665 ， 第一主振型为： 1= 0.3332 0.6665 1 T,将 代入上式，令2（3）=1，同样可解得： 2(1)=-0.6665 ， 2(2)=-0.6665 ， 第二主振型为： 2= -0.6665 -0.6665 1 T,将 代入
8、上式，令3（3）=1，同样可解得： 第三主振型为： 3= 4.0 -3.0 1 T 或3= 1 -0.75 0.25 T,多自由度及无限自由度体系的振动,（4）刚架的振型图,多自由度及无限自由度体系的振动,第一振型,多自由度及无限自由度体系的振动,第二振型,多自由度及无限自由度体系的振动,第三振型,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,主振型的正交性 在同一体系中，任何两个不同的主振型向量 和 ，都满足下列关系式：,多自由度及无限自由度体系的振动,主振型的正交性证明 由功的互等定理知：任一主振型中的惯性力在另一主振型相应位移上所做的功，应当等于第二振型的惯性力在该主振
9、型的相应位移上所做的功。以两自由度为例，有,多自由度及无限自由度体系的振动,因是两不同的主振型，所以有 注意到两振型的选择任意性，故主振型正交性得到证明。 类似可以证明，主振型对刚度矩阵也有正交性，只要把质量矩阵换成刚度矩阵即可。,对于标准化的振型向量，也同样具有正交性 ：,矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量i时, 它们的乘积等于一个数:,Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.,主振型正交性应用：可利用振型的正交性来校核计算出的主振型向量是否正确。,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,自由振动微分方程的特解:,自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即
10、:,它的代表形式是：,多自由度体系自由振动的通解,组合系数i和初位相i可由振动的初始条件确定； 在一般情况下系统振动时，其位移向量中包含了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件时体系才按主振型振动。 振型向量Y一般可以看成是系统各主振型向量的某种线性组合:,多自由度及无限自由度体系的振动,振型组合系数的确定：,对上式两边左乘 则：,考虑到振型的正交性, 等式右边的多项式中, 除只有i=j 一项不等于零，而等于广义质量Mj 外，其余各项均为零,综上所述，根据结构自身的质量矩阵M、刚度矩阵K或柔度矩阵F，可计算结构的各阶自振频率i和主振型向量i ，进一步可计
11、算振型组合系数i ，最终可求得系统振动时的振型向量Y。,其中广义质量Mj ：,多自由度及无限自由度体系的振动,建立体系自身的质量矩阵M：,计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵F：,多自由度体系自由振动的计算步骤：,根据频率方程计算结构的各阶自振频率i,多自由度及无限自由度的振动,多自由度及无限自由度体系的振动,计算系统振动时的振型向量Y,计算结构的主振型向量i,计算振型的组合系数j,多自由度及无限自由度体系的振动,多自由度体系的强迫振动 n个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（每一质量体比自由振动时多承担一项强迫振动力）,多自由度及无限自由度体系的振动,若荷载是简谐荷载（注意频率相同），则有
12、取稳态解,多自由度及无限自由度体系的振动,振动特征方程 将稳态解代入振动方程，得（注意与自由振动比较） 解的讨论： 若系数矩阵不为零，即 可求得振幅，从而得到任一时刻各质量体的位移,多自由度及无限自由度体系的振动,若系数矩阵为零，即 联系到多自由度体系的自由振动解的存在条件，可知 此时，振幅趋于无穷大，意味着当强迫振动频率与自由振动频率中的任一个相同时，就可能出现共振现象。,多自由度及无限自由度体系的振动,无限自由度体系的自由振动 有限自由度与无限自由度体系运动特征描述比较： 有限自由度体系的质量体是固定的，即质量体的位置坐标是一定的，可以单独描述各质量体的位置，各质量体的振动位置只是时间的函
13、数，其运动方程是常微分方程。 无限自由度体系的各质量点的位置是变化化的，因而在连续描述其运动时是位置和时间的函数，即多变量函数，运动方程是偏微分方程。,多自由度及无限自由度体系的振动,等截面杆的弯曲振动,多自由度及无限自由度体系的振动,用变量分离法求解无限自由度的振动方程，即设其解为两个分别只与位置和时间有关的函数的乘积。 上式意味着在不同的时刻，弹性曲线的形状保持不变，只是随着时间不同，振幅不同。将上述分离变量解代入运动方程，得,多自由度及无限自由度体系的振动,整理可得 上式右边与位置坐标无关，左边与时间无关，因而它们都应与位置坐标和时间都无关，即 为常数。进而可得到两个微分方程：,多自由度
14、及无限自由度体系的振动,其中 或者 关于时间的微分方程（第一个方程）的通解为（回忆单自由度的自由振动解） 或,多自由度及无限自由度体系的振动,于是无限自由度弯曲自由振动梁的解为 可见自由振动是以 为圆频率的简谐振动， 是其振幅曲线，注意常数 已包括在待定振幅函数 中。 关于位置坐标的微分方程（第二个方程）的解可表示为,多自由度及无限自由度体系的振动,依据边界条件，可写出包含待定常数 的四个齐次方程。对简支梁左边界有 导出振幅曲线为,多自由度及无限自由度体系的振动,对简支梁右边界有,上述齐次方程组有解的条件为,即,多自由度及无限自由度体系的振动,注意到 将导致 ，故取解为 其根为 为无穷多个。,
15、多自由度及无限自由度体系的振动,与特征解对应的频率为 振幅曲线解为,多自由度及无限自由度体系的振动,用Rayleigh法求第一频率 原理：一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）应当保持不变，即能量守恒。 对等截面分布质量的横梁，其位移可表示为,多自由度及无限自由度体系的振动,与振动曲线对应的弯曲应变能为 其最大值为 梁的动能为,多自由度及无限自由度体系的振动,动能的最值为 当 时，位移和应变能为零，速度和动能最大，体系的总能量为 。 当 时，速度和动能为零，位移和应变能最大，体系的总能量为 。,多自由度及无限自由度体系的振动,由能量守恒知 得 若梁上还有集中质量，则有,多自由度及无限自由度体系的振动,Rayleigh法近似求第一频率应用举例 求等截面简支梁的的第一频率。 要点：假定位移曲线形状。 解： 设位移形状曲线 为抛物线 应变能和动能的最值为,多自由度及无限自由度体系的振动,振动频率为 又解： 若取分布荷载作用下的挠曲线为振幅曲线函数，即,多自由度及无限自由度体系的振动,可得第一频率为,多自由度及无限自由度体系的振动,又解： 若设形状函数为正弦函数 则有,多自由度及无限自由度体系的振动,其它近似方法简介（略）,