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1、第十二章 动 量 矩 定 理,12-1 质点和质点系的动量矩,1质点的动量矩,对点O的动量矩,对 z 轴的动量矩,单位:kgm2/s,2质点系的动量矩,对点的动量矩,对轴的动量矩,等于 对点O的矩.,（2） 刚体绕定轴转动,转动惯量,即,12-2 动量矩定理,1质点的动量矩定理,设O为定点,有,其中:,（O为定点）,投影式:,因此,得,称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和.,2. 质点系的动量矩定理,由于,投影式:,内力不能改变质点系的动量矩.,解:,由 , ， 得,例12-2 水轮机转轮,进口水速度 ,出口水速度 ,它
2、们与切线夹角分别为 , ,总体积流量 . 求水流对转轮的转动力矩.,设叶片数为 ,水密度为 ,有,解：,例12-3：已知 , , , , , ,不计摩擦.,求:（1）,（2）O处约束力,（3）绳索张力 ，,由 ,得,（2）由质心运动定理,（3） 研究,（4）研究,3动量矩守恒定律,若 , 则 常矢量；,若 , 则 常量。,例：面积速度定理,有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.,由于 ,有,常矢量,（2） b = 常量,即 常量,由图,因此, 常量,（1） 与 必在一固定平面内,即点M的运动 轨迹是平面曲线.,称面积速度.,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.,求：剪断绳
3、后, 角时的 .,例12-4：两小球质量皆为 ,初始角速度,时,时,由 , 得,解：,12-3 刚体绕定轴的转动微分方程,主动力:,约束力:,即:,或,或,例12-5:已知: ，求 .,解:,摆动的周期 .,例12-6 物理摆（复摆），已知 求微小,解：,微小摆动时，,即：,通解为,称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.,周期,例12-7：已知 ，动滑动摩擦系数 ，,求制动所需时间 .,解：,例12-8：已知 求： .,解：,因 ， ，得,12-4 刚体对轴的转动惯量,单位：kgm2,1. 简单形状物体的转动惯量计算,(1)均质细直杆对一端的转动惯量,由 ，得,（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯
4、量,（3）均质圆板对中心轴的转动惯量,式中：,或,2. 回转半径（惯性半径）,或,3平行轴定理,即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.,证明：,因为,有 ，得,要求记住三个转动惯量,（1） 均质圆盘对盘心轴的 转动惯量,（2） 均质细直杆对一端的 转动惯量,（3） 均质细直杆对中心轴 的转动惯量,则,4组合法,解：,解：,其中,由 ，得,5实验法,例：求对 轴的转动惯量.,将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.,由,其中 已知, 可测得，从而求得 .,解：,6. 查表法,均质物体的转动惯量,薄壁圆筒,细直杆,体积,惯
5、性半径,转动惯量,简 图,物体的形状,薄壁空心球,空心圆柱,圆柱,圆环,圆锥体,实心球,矩形薄板,长方体,椭圆形薄板,12-5 质点系相对于质心的动量矩定理,1对质心的动量矩,（因 ）,有,其中,即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.,对任一点O的动量矩：,2 相对质心的动量矩定理,由于,即,质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于 质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩.,得,或,或,12-6 刚体的平面运动微分方程,以上各组均称为刚体平面运动微分方程.,应用时一般用投影式：,例12-12 半径为r，质量为m 的均质圆轮沿水平 直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为 ，作用 于轮的力偶矩为M.求轮心的加速度.如果圆轮对 地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条 件不致使圆轮滑动?,解：,其中,得,纯滚动的条件：,即,例12-13 均质圆轮半径为r质量为m ， 受到轻 微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所 示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.,求:质心C的运动规律.,由于,解:,其解为,式中,运动方程为,得,得,由 时,