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1、6.5角平分线（2）,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作射线OC.,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流.,则射线OC就是AOB的平分线.,尺规作图角平分线的作法,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,如图, OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点, PDOA, PEOB,垂足分别是D, E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,回顾与思考,逆定理 在一个
2、角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图, PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知), 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,回顾与思考,剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.,结论:三角形三个角的平分线相交于一点.,老师期望: 你能写出规范的证明过程.,你想证明这个命题吗?,观察这三条角平分线,你发现了什么?,做一做,命题:三角形三个角的平分线相交于一点.,如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.,BM是ABC的角平分线,点P在B
3、M上,ABC的三条角平分线相交于一点P.,怎样证三条直线交于一点,基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,如图,在ABC中, BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC(已知), BM,CN,AH相交
4、于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,老师提示: 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.,做一做,如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD=4cm,AC的长;,(2)求证:AB=AC+CD.,课内练习,1.如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?,老师提示: 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点
5、, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.,试一试,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心). 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.,小结拓展,1.已知:如图,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分线. 求证:BD=2CD.,课后作业,2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角平分线相交于点F. 求证:点F在DAE的平分线上.,课后作业,3.已知:如图,P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,垂足分别C,D. 求证: (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.,课后作业,