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1、一元二次方程及其解法,(1)直接开平方法,(2)配方法,(3)公式法,(4)因式分解法,解一元二次方程的方法有几种?,方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如,开平方法,可得,解：移项,练 习,用配方法解一元二次方程的步骤:,1.化：若二次项系数不是1，要先化为1. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边写成完全平方形式,右边合并同类项 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方
2、程两边都加上一次项系数一半的平方;,4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,(1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )2,填空,42,( )2,62,6,解: 移项，得：,配方，得：,由此得:,二次项系数化为1，得, 先化为一般形式； 再确定a、b、c,求b2-4ac； 当 b2-4ac 0时,代入公式:,若b2-4ac0,方程没有实数根.,公式法步骤,解：,=,0,方程有两个不等的实数根,即,解：,=,0,
3、方程有两个不同的实数根,即,1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般步骤:,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,例1解下列方程：,解：（1）因式分解，得,于是得,x20或x1=0,x1=2，x2=1.,(x2)(x1)=0.,例题解析,(2)移项、合并同类项，得,因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0.,于是得,2x1=0或2x1=0,我来试一试,规律： 1.一般地，当一元二次方程一次
4、项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。,按括号中的要求解下列一元二次方程： （1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）； （4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）,练习：用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）-49=
5、0 2、（3x -4）=（4x -3） 3、4y = 1 - y,解： （3x-2）=49 3x -2=7 x= x1=3，x2= -,解： 法一3x-4=（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 -x=1或 7x=7 x1 = -1， x2 =1 法二（3x-4） -（4x-3） =0（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0 （7x-7）（-x-1）=0 7x-7=0或-x-1=0 x1 = -1， x2 =1,解：3y+8y -2=0 b - 4ac =64 -43（-2） =88 X=,练习：选用适当方法解一元二次方程：,（1）(x-1)(x+3)=12 （2） (x
6、-3)2 =4x （3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0 （4）(x-1)2=9(x+2)2,2、直接开平方和因式分解法经常用到“整体思想”,1、解一元二次方程时，如果方程能直接开平方， 就采用直接开平方, 其次考虑因式分解，因为这种 方法最快接；再次考虑求根公式法，这种方法是万 能的，能求所有的一元二次方程，尤其当二次项系 数不是1时。当然大前提是有解。最后考虑用配方法， 因为它较复杂，但这种方法常用于证明一个式子大于 零或恒小于零。,课堂小结,选用适当方法解一元二次方程：,（1）(x-1)(x+3)=12 （2） (x-3)2 =4x （3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0 （4）(x-1)2=9(x+2)2,课后作业：,谢谢！再见,