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1、3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/, 解对初值的连续性, 解对初值的可微性,本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity & differentiability,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity & d
2、ifferentiability,3.3.2解对初值的连续依赖性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3 Continuity & differentiability,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足,利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义，令,不妨设,因此，有,3.3 Con
3、tinuity & differentiability,则,于是,因此，在区间 a,b 上 为减函数，有,3.3 Continuity & differentiability,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程，令,注意到,因此,两边取平方根，得,3.3 Continuity & differentiability,解对初值的连续依赖性定理的证明,（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域,因为，积分曲线段,是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限
4、个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径， 表示 f(x,y) 于 内的相应的利普希茨常数。,3.3 Continuity & differentiability,令,则有,且 的边界与S的距离 。对预先给定的,若取,则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ，且 f (x，y),在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。,3.3 Continuity & differentiability,（二）解对初值的连续依赖性,断言，必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域
5、，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这是必然有,3.3 Continuity & differentiability,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity & differentiability,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在D的内部，而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity & differentiability,在不等式,中，,将区间c，d换为a，b ，可知 ，当,时，
6、有,定理得证。,3.3 Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity & differentiability,1. 含参数的一阶方程表示,2. 一致利普希兹条件,设函数,一致地关于 y 满足局部利普希兹 (Lipschitz)条件，,为中心的球 ，使得对任何,其中L 是与 无关的正数。,在 内连续，且在 内,即对 内的每一点 都存在以,成立不等式,3.3 Continuity & differentia
7、bility,由解的存在唯一性定理，对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3 Continuity & differentiability,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，,是方程 通过点 的解，在区间,那么，对任意给定的 ，必存在正数,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,有定义,其中,使得当,3.3 Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程,3.3
8、Continuity & differentiability,3.3.3解对初值的可微性定理,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。,若函数 f (x,y) 以及 都在区域 G 内连续，则方程,3.3 Continuity & differentiability,3.3 Continuity & differentiability,证明,由,在区域 G 内连续，推知 f (x,y)在,G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即,下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数,在它的存在范围内关于 是连续的。,存在且连续。,3.3 Continuity
9、 & differentiability,设由初值,为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,即,于是,其中,先证,存在且连续。,3.3 Continuity & differentiability,注意到 及,的连续性，有,其中 具有性质,类似地,其中 与 具有相同的性质，因此对,3.3 Continuity & differentiability,即,是初值问题,的解，在这里 被视为参数。,显然，当 时上述初值问题仍然有解。,3.3 Continuity & differentiability,根据解对初值和参数的连续性定理，知,是,的连续函数。从而存在,而,是初值问题,的解。,且,，显然,
10、的连续函数。,它是,3.3 Continuity & differentiability,再证,存在且连续。,为初值,设,所确定的方程的解。,类似地可推证,是初值问题,的解。因而,3.3 Continuity & differentiability,其中 具有性质,故有,至于 的存在及连续性，只需注意到,显然它是,的连续函数。,是方程的解，因而,由 及 的连续性即直接推的结论。,证毕。,3.3 Continuity & differentiability,课堂练习,1 设 是初值问题,的解，试证明,3.3 Continuity & differentiability,作业： P.93 第 3,
11、 4 题,2 已知方程,试求,3.3 Continuity & differentiability,按照公式，一般有,由于,，因此，我们有,时有,3.4 奇解,包络和奇解,克莱罗方程（Clairant Equation）,本节要求： 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。,主要内容,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲
12、线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例 单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族 的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。,二 求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法 P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去 C 而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数 C 求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。,注意
13、： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例1 求直线族,的包络，这里 是参数，p 是常数。,解：,对参数 求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,例2 求直线族,的包络，这里 c 是参数。,解：,对参数 c 求导数,联立,得,从 得到,从 得到,因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。,2 p-判别曲线,结论：方程 的奇解包含在下列方程组,消去 p 而得到的曲线中。,注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例3 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,
14、而 是方程的解，且正好是通解的包络。,例4 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3 克莱罗方程,形式,其中,是 p 的连续函数。,解法,通解,奇解,例5 求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解 设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,课堂练习：,1 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数 a 。,2 求解方程，并划出积分曲线图。,作业： （一）1，2，7，8 ， （二）1，3 ，（四）,