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1、，解方程（AE）x = 0由,得基础解系,例3 求矩阵,的特征值和特征向量,解 (1)由AE=0,求A的全部特征值。,得A的特征值为,(2)由(AE)x = 0,求A的特征向量。,当,时,解方程（A+E）x = 0,由,得基础解系,所以对应于,的全部特征向量为 ，,解方程（A2E）x = 0 ,由,得基础解系,例4 设是方阵A的特征值,证 因为是方阵A的特征值,设为P 0,使 AP = P, 于是,例5 设3阶方阵A满足,求A的特征值,解 设是A的特征值, x是 A 的关于 所对应的特征向量,则Ax = x，从而,又 x0,所以,从而,即 (1)(2) = 0,故 得A的特征值为：,例6 若是
2、可逆阵A的特征值 , x 是 A的关于所对应 的特征向量,则,证,。,。,。,由上面各例类推,不难证明,若 是A的特征值, 则k是Ak的特征值，,例7 设有4阶方阵A满足A+3E=0,解,四、特征值与特征向量的有关定理,定理2 设 1，2， ，m 是A的m个特征值，p1， p2 , , pm依次是与之对应的特征向量，若1，2，m各不相同，则p1， p2， ，pm线性无关,在（2）两边左乘A，,依次做下去,(m),将上面m个式子联立成线性方程组,得向量方程组,由于系数行列式是范得蒙行列式,所以,由克莱默法则知,向量方程组仅有零解.即,例8 设A为4阶方阵，其特征值1，2，3，4各不相 同，对应的特征向量依次为1，2，3，4，,（）,即,整理,得,= 0,其系数行列式是4阶范得蒙行列式,所以上面方程组仅有零解,由（）知,作业: 126页4题,