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1、安丘市实验中学 高二数学备课组,离散型随机变量的均值,离散型随机变量的分布列,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征如均值，方差等。,复习回顾,性质：(1)pi0，i1，2，； (2)p1p21,1、某射手射击所得环数X的分布列如下：,能否估计出该射手n次射击的平均环数？,问题情境,假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%
2、，你应选择哪种促销方式？,2，商场促销决策问题,?,教学过程,建构概念,加权平均,权数,思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,建构概念,18P（=18）+24P（=24）+36P（ =36）,思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,如果混合糖果中每一颗糖果的质量和形状都相同，从混合糖果中任取一颗糖，用X表示这颗糖的价格，X的分布列怎样？,18,24,36,一、离散型随机变量取值的均值,(数学期望),一般地，若离
3、散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,1、某射手射击所得环数X的分布列如下：,能否估计出该射手n次射击的平均环数？,解决问题1,分析：随机变量X 的均值等于：,EX=40.0250.04100.248.38环,思考：若该射手在一次练习中射击了n次，这次练习他所得的平均环数一定是8.38环吗？n次练习所得的平均环数与x的均值8.38环有何区别和联系？,该射手n次射击的平均环数约为8.38环,随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？,区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。 联系：随
4、着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？,思考：,YaXb,一、离散型随机变量取值的均值,数学期望,二、随机变量数学期望的性质（线性性质）,即时训练：,1、随机变量X的分布列是,(1)则EX= .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若Y=2X+1，则EY= .,5.8,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点
5、分布，,则,三、例题讲解,两点分布的期望,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,三、例题讲解,变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？,分析： XB（3，0.7）,为什么呢？,Ex=,二项分布的期望,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,三、例题讲解,变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命
6、中的概率为p，则他连续罚球n次的得分X的均值是多少？,x的概率分布如下：,XB(n,p),EX=0 k n,？,为什么呢？能证明它吗？,np,EX,2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则EX=np,结论：,1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则EXp,3， 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .,3,即时训练：,4，随机变量XB（8，p），已知X的均值EX=2，则P（x=3)= （保留2位有效数字）。,0.21,例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望
7、。,变式训练： 某课外活动小组有4名男生和6名女生，现 要从中选3人组成一个调查小组，设其中 男生人数为X (1)求X的分布列； (2)求X的期望.,一般地，如果随机变量X服从超几何分布，即XH(n，M，N)，则,超几何分布的数学期望,三、例题讲解,例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元为保护设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元但围墙只能防小洪水 方案3：不采取措施，希望不发生洪水,
8、假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,2，商场促销决策问题,解决问题2,解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为,0.4,0.6,4,10,E X = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤：,1）找出随机变量的可能取值；,反思：2、求随机变量均值的一般方法：,1）利用定义求均值
9、；,2）求出分布列,3）利用定义（公式）求均值。,2）利用线性性质求均值。,3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。,例：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,思路分析：,设甲、乙选对题数分别为X1、X2，,则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2，,问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= E(Y2) =E(5X2)=,思考：X1、X2服从什么分布？,5E(X1)
10、,5E(X2),解：,设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则,X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，,EX1200.918，,EX2200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5X1)5EX151890，,E(5X2)5EX25525,当堂检测,1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）,3.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2
11、分，用表示得分数 求的概率分布列 求的数学期望,2. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ） A4； B5； C4.5； D4.75,归纳总结,应用,概念,步骤,期望的概念,期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。,求期望的三个步骤,方法,求期望的三种方法,（广东卷17）（本小题满分13分） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为X （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,高考链接：,【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2； ， ， , 故的分布列为：,（2）,（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为3%,布置作业,基础题,能力题,课后探究题,必做题书p64:A2,3 选做题p64:B1,2,高考链接09广东17,证明二项分布均值公式EX=np,谢谢指导,！,