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1、第十章 相关与回归分析,第十章 相关与回归分析,第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归 第三节 多元线性回归 第四节 可化为线性回归的曲线回归,学习目标,1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用 2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法 掌握回归方程的显著性检验 利用回归方程进行预测 掌握多元线性回归分析的基本方法 了解可化为线性回归的曲线回归 用 Excel 进行回归分析,第一节 变量间的相关关系,一. 变量相关的概念 二. 相关系数及其计算,变量相关的概念,变量间的关系 （函数关系）,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，
2、并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,变量间的关系 （函数关系）, 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间的关系 （相关关系）,变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确
3、定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,变量间的关系 （相关关系）, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系的图示,相关系数及其计算,相关关系的测度 （相关系数）,对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为
4、 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,相关关系的测度 （相关系数）, 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,相关关系的测度 （相关系数计算例）,【例10.1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到198119
5、93年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表10-1，计算相关系数。,相关关系的测度 （计算结果）,解：根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,相关系数的显著性检验 （概念要点）,1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，接受H0,相关系数的显著性检验 （实例）, 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,
6、3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201 由于t=64.9809t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著,相关系数的显著性检验 （相关系数检验表的使用）,若IrI大于表上的=5%相应的值，小于表上1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系 若IrI大于表上=1%相应的值，称变量x与y之间有十分显著的线性关系 若IrI小于表上=5%相应的值，称变量x与y之间没有明显的线性关系 根据前例的r0.9987=5%(n-2)=0.553，表明人均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性相关关系,第二节 一元线性回归,一. 一元线性
7、回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用,什么是回归分析？ （内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归方程一词是怎么来的,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析
8、中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,回归模型与回归方程,回归模型,回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型 （概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 对于具有线性关系的两个变量
9、，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,一元线性回归模型 （概念要点）, 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 （基本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，
10、y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表
11、示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计(经验)的回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,参数 0 和 1 的最小二乘估计,最小二乘法 （概念要点）,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,
12、最小二乘法 （图示）,最小二乘法 （ 和 的计算公式）, 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法 （实例）,【例】根据例10.1中的数据，配合人均消费金额对人均国民收入的回归方程 根据 和 的求解公式得,估计(经验)方程,人均消费金额对人均国民收入的回归方程为,y = 54.22286 + 0.52638 x,估计方程的求法 （Excel的输出结果）,回归方程的显著性检验,离差平方和的分解,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对
13、一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,离差平方和的分解 （图示）,离差平方和的分解 （三个平方和的关系）,2. 两端平方后求和有,从图上看有,SST = SSR + SSE,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数 （判定
14、系数 r2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2,回归方程的显著性检验 （线性关系的检验 ）,检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系,回归方程的显著性检验 （检验的步骤）,提出假设 H0：线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，
15、并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,回归方程的显著性检验 （方差分析表）,（续前例）Excel 输出的方差分析表,平方和,均方,估计标准误差 Sy,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 计算公式为,注：上例的计算结果为14.949678,回归系数的显著性检验 （要点）,在一元线性回归中，等价于回归方程的显著性检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的显
16、著性检验 （样本统计量 的分布）,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于无未知，需用其估计量Sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的显著性检验 （样本统计量 的分布）,回归系数的显著性检验 （步骤）,提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,回归系数的显著性检验 （实例）,提出假设 H0：b1 = 0 人均收入与人均消费之间无线性关系 H1：b1 0 人均收入与人均消费之间有线性关系 计算检验的
17、统计量,t=65.0758t=2.201，拒绝H0，表明人均收入与人均消费之间有线性关系,对前例的回归系数进行显著性检验(0.05),回归系数的显著性检验 (Excel输出的结果）,预测及应用,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）,2. 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 3. 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于
18、自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）, y 的平均值的点估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计人均国民收入为2000元时，所有年份人均消费金额的的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）, y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计,2. 比如，如果我们
19、只是想知道1990年人均国民收入为1250.7元时的人均消费金额是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得,利用回归方程进行估计和预测 （区间估计）,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计 预测区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （置信区间估计）, y 的平均值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值E(y0)的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间 E(y0) 在1-置信水平
20、下的置信区间为,式中：Sy为估计标准误差,利用回归方程进行估计和预测 （置信区间估计:算例）,【例】根据前例，求出人均国民收入为1250.7元时，人均消费金额95%的置信区间 解：根据前面的计算结果 712.57，Sy=14.95，t(13-2)2.201，n=13 置信区间为,712.5710.265,人均消费金额95%的置信区间为702.305元722.835元之间,利用回归方程进行估计和预测 （预测区间估计）, y 的个别值的预测区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间 y0在1-置信水平下的预测区间
21、为,利用回归方程进行估计和预测 （置预测区间估计:算例）,【例】根据前例，求出1990年人均国民收入为1250.7元时，人均消费金额的95%的预测区间 解：根据前面的计算结果有 712.57，Sy=14.95，t(13-2)2.201，n=13 置信区间为,712.5734.469,人均消费金额95%的预测区间为678.101元747.039元之间,影响区间宽度的因素,1. 置信水平 (1 - ) 区间宽度随置信水平的增大而增大 2. 数据的离散程度 (s) 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 xp与x的差异程度 区间宽度随 xp与
22、x 的差异程度的增大而增大,置信区间、预测区间、回归方程,第三节 多元线性回归,一. 多元线性回归模型 回归参数的估计 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验 多元线性回归的预测,多元线性回归模型,多元线性回归模型 （概念要点）,一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为,b0 ，b1，b2 ，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 说明了包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性,多
23、元线性回归模型 （概念要点）, 对于 n 组实际观察数据(yi ; xi1,，xi2 ， ，xip )，(i=1,2,n)，多元线性回归模型可表示为,多元线性回归模型 （基本假定）,自变量 x1，x2，xp是确定性变量，不是随机变量 随机误差项的期望值为0，且方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0,2)，且相互独立,多元线性回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x1， x1 ，xp的方程称为多元线性回归方程 多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + p xp,b1，b2，bp称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量
24、不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均平均变动值,多元线性回归方方程的直观解释,多元线性回归的估计(经验)方程,总体回归参数 是未知的，利用样本数据去估计,用样本统计量 代替回归方程中的 未知参数 即得到估计的回归方程,是 估计值 是 y 的估计值,参数的最小二乘估计,参数的最小二乘法 （要点）,根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数 的标准方程如下,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即,回归方程的显著性检验,多重样本决定系数 （多重判定系数 R2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 R2 1，说明回归方程拟
25、合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2,修正的多重样本决定系数 （修正的多重判定系数 R2 ）,由于增加自变量将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变异性的数量，为避免高估这一影响，需要用自变量的数目去修正R2的值 用n表示观察值的数目，p表示自变量的数目，修正的多元判定系数的计算公式可表示为,回归方程的显著性检验 （线性关系的检验 ）,检验因变量与所有的自变量和之间的是否存在一个显著的线性关系，也被称为总体的显著性检验 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著
26、的，因变量与自变量之间存在线性关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系,回归方程的显著性检验 （步骤）,提出假设 H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，p至少有一个不等于0,2. 计算检验统计量F,3. 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F 4. 作出决策：若FF ，拒绝H0；若FF，接受H0,回归系数的显著性检验 （要点）,如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著 对每一个自变量都要单独进行检验 应用 t 检验 在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于
27、回归系数的显著性检验,回归系数的显著性检验 （步骤）,提出假设 H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) 计算检验的统计量 t,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,一个二元线性回归的例子,【例】一家百货公司在10个地区设有经销分公司。公司认为商品销售额与该地区的人口数和年人均收入有关，并希望建立它们之间的数量关系式，以预测销售额。有关数据如下表。试确定销售额对人口数和年人均收入的线性回归方程，并分析回归方程的拟合程度，对线性关系和回归系数进行显著性检验(=0.05)。,一个二元线
28、性回归的例子 (Excel 输出的结果),一个二元线性回归的例子 (计算机输出结果解释),销售额与人口数和年人均收入的二元回归方程为,多重判定系数R2= 0.9373；调整后的R2= 0.9194 回归方程的显著性检验 F = 52.3498 FF0.05(2,7)=4.74，回归方程显著 回归系数的显著性检验 t= 9.3548t=0.3646，； t2 = 4.7962 t=2.3646；两个回归系数均显著,一个含有四个变量的回归,第三节 可化为线性回归的 曲线回归,基本概念 非线性模型及其线性化方法,非线性回归,1. 因变量 y 与 x 之间不是线性关系 2. 可通过变量代换转换成线性关
29、系 用最小二乘法求出参数的估计值 并非所有的非线性模型都可以化为线性模型,几种常见的非线性模型, 指数函数,线性化方法 两端取对数得：lny = ln + x 令：y = lny，则有y = ln + x,基本形式：,图像,几种常见的非线性模型, 幂函数,线性化方法 两端取对数得：lg y = lg + lg x 令：y = lgy，x= lg x，则y = lg + x,基本形式：,图像,几种常见的非线性模型, 双曲线函数,线性化方法 令：y = 1/y，x= 1/x, 则有y = + x,基本形式：,图像,几种常见的非线性模型, 对数函数,线性化方法 x= lgx , 则有y = + x,
30、基本形式：,图像,几种常见的非线性模型, S 型曲线,线性化方法 令：y = 1/y，x= e-x, 则有y = + x,基本形式：,图像,非线性回归 （实例）,【例】为研究生产率与废品率之间的关系，记录数据如下表。试拟合适当的模型。,非线性回归 （实例）,生产率与废品率的散点图,非线性回归 （实例）,用线性模型：y =01x+ ，有 y = 2.671+0.0018x 用指数模型：y = x ，有 y =4.05(1.0002)x 比较 直线的残差平方和5.3371指数模型的残差平方和6.11。直线模型略好于指数模型,本章小结,相关系数与相关分析 一元线性回归模型、回归方程与估计的回归方程 多元线性回归模型、回归方程与估计的回归方程 回归方程与回归系数的显著性检验 非线性回归的线性化 5. 用Excel 进行回归分析,结 束,