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1、,第六章 定积分的应用,第一节 定积分的元素法,要应用定积分来解决实际问题，就需要解决下面,两个问题：,（1）,什么样的量能表示为定积分？,（2）,怎样求出这些量的定积分表达式？,在前面，我们已经看到：,曲边梯形的面积，,作变速直线运动的物体所走的路程，,都能用定积分,来表示。,这些量具有什么特征？,（i）,是非均匀，连续分布在某个区间,上的。,(ii),具有对区间的可加性。,即：,若将区间,分为若干个子区间，,那么，,分布在区间,上的总量等于分布在各个子区间上的部分量之和。,一般地，,具有上面这两个特征的量都能用定积分表示。,这就回答了第一个问题。,下面，考虑第二个问题。,以曲边梯形的面积为
2、例。,通过任分，任取，求和，取极限四步，,我们得到,下面，为了方便应用，,我们希望将上面的四步,进行简化。,为了简单起见，我们略去下标，那么，上式变为,那么，,表示什么呢？,在图上表示：,小矩形的面积,它是小曲边梯形面积,的一个近似值。,它有什么特征呢？,令,，则,根据微分的定义，知,是,的线性函数，且,这就是,这个近似值的特征。,因此，,要将曲边梯形的面积,表示为定积分，,关键是：求出,的表达式.,一旦求出了,的表达式，,即：,则有,这样，就将,曲边梯形的面积,表示为定积分了。,面积元素,总结一下：,将曲边梯形的面积,表示为定积分的步骤可简化为,下面两步：,（1）,将区间,任分为若干个小区间，,然后，任取一个小区间,，,分布在其上的面积,（2）,一般地，,可按下面的步骤将一个量,表示为定积分：,（1）,将区间,任分为若干个小区间，,然后，任取一个小区间,，,分布在其上的部分量,量U 的元素,（2）,这种将一个量表示为定积分的方法称为 定积分的元素法。,