根轨迹ppt课件.ppt

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1、第四章 根轨迹法,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 线性系统性能的根轨迹分析法,一、本章内容提要: 1介绍已知系统开环传递函数的极点、零点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响； 2根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 3根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹、根轨迹曲线族、零度根轨迹; 4根轨迹法分析系统性能,二、本章教学目的及要求: 1掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义； 2掌握控制系统根轨迹的绘制方法； 3正确绘制出不同参量变化时系统的根轨迹图

2、。 4能够运用根轨迹法对控制系统进行分析； 5更进一步体会闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。,三、本章重点、关键、难点 1重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹图分析控制系统 2关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件 3难点：广义根轨迹的绘制,四、本章学习方法 通过具体习题练习和总结记忆掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对应根轨迹的大致图形。,切记：没有时域分析法的基础，根轨迹法只是一个“空中楼阁”。离开时域分析法来谈根轨迹方法是没有意义的，所以在学习根轨迹方法的时候要注意联系时域分析法的知识和结果。事实上，根轨迹方法只是时域分析方法的一种辅助图解法。

3、两者正好相辅相成，并共同创造了一个完美的组合。,第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念,过阻尼,临界阻尼,思考：零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系,引言 1.不同研究内容所需的传递函数：,闭环传递函数：,闭环系统的开环传递函数,误差传递函数,闭环系统的特征方程,研究动态性能,研究稳态性能,研究稳定性,2.三大性能同各个传递函数的关系 1）稳定性：用 分析， 只同开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点的分布。 2）稳态性能：用 ，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。 3）动态性能：用 和 这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开

4、环传递函数中的前向通路传递函数相关。研究闭环系统的零极点及闭环增益。,3.分析方法及思路 1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点： 物理元件典型环节开环结构闭环结构系统数学模型 （1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，-很容易获得； （2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利； （3）可以直接求取稳态误差； (4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。 2)一个美好的愿望： 开环零极点图+开环增益闭环零极点全部可能的分布图分析系统的三大类性能。,一、根轨迹定义（纯数学定义）： 设方程(注意这个方程的形式同特

5、征方程的关系)。,式中， 为实常数，,为可变参数。,4.1 根轨迹法的基本概念,为该方程的n个根，每选择一个K*值，就有一组根与之对应，在自变量s平面上就会有一组极点与之对应，换一个K*值，会有一组新的极点与之对应，当K*在实数范围内连续变化时，对应的n个根就会在s平面内形成n条轨迹线，这些轨迹线就称为该方程的根轨迹。,设,1.当 时，特征方程根形成的轨迹称为常规根轨迹。 2.当 时，特征方程根形成的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹。 3.当 时，特征方程根形成的轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他是根轨迹与补根轨迹的总称。 4.当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹形成族。称作广义根轨

6、迹或根轨迹族。,并且：,例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在s平面上全部可能的分布情况。,解 系统的闭环传递函数 系统的特征方程为 特征方程的根是 设 的变化范围是0, ）， 当 时, （正好是开环极点）; 当 时， 与 为不相等的两个负实根； 当 时， 为等实根；,讨论：,当1/2 时， 为一对共轭复根，其实部恒等于-1，虚部随 值的增加而增加； 当 时， 、 的实部都等于-1，是常数，虚部趋向无穷远处 。,该系统特征方程的根随开环系统参数 从零变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。,逐点描迹法：,图4-1 例4-1的根轨迹,

7、以Kr=K*为参数的数学曲线可以根据计算的数据表绘出：,(K*=）,当系统参数 为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。 值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（WREVANS）解决了这个问题，提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方

8、程，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。,上面用解出闭环特征方程的根，然后画成曲线得到根轨迹的办法并没有实际意义，因为这又回到求解高阶代数方程的问题上了。根轨迹图之所以能被广泛应用，就是因为有简便的作图方法可以画出根轨迹而不必求解高阶代数方程。,二闭环系统的根轨迹定义-闭环根轨迹方程 闭环系统特征方程 的根（即闭环极点）随开环系统某一参数（如K*)由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹就称为闭环系统的根轨迹。,设系统的开环传递函数为：,设系统的闭环传递函数为：,基本公式,基本公式,控制理论的定义,特征方程为：,因此可得：,此式就是前边给出的数学意义下的根轨迹定义式。现在我们来推到闭环

9、系统的根轨迹方程。,令：,得闭环系统的根轨迹方程：,这是推导的出发点,基本公式,基本公式,由闭环系统的根轨迹方程：,得根轨迹的幅值条件和相角条件：,基本公式,进一步设：,则幅值条件和相角条件可以进一步写成如下实用形式：,幅值条件：,基本公式,幅值条件：,相角条件：,这两个公式就是我们今后绘制根轨迹时实际使用的基本公式,推导的结果,公式的几何意义：,S平面,GH平面,注意：1.在做根轨迹图时，公式中的s有试探点的意义。 2. 我们现在主要关心的是如何能够尽快地绘出根轨迹图。,三、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系 问题：闭环系统的根轨迹只是闭环极点的全局情况，但是闭环零点和闭环根增益的全局情况

10、如何呢？如何从根轨迹图得到完整的闭环系统传递函数呢？ 通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制和得到闭环系统的完整信息。设控制系统如图4-2所示，其闭环传递函数为,图4-2 控制系统,（4-1）,再关心一下闭环极点之外的其他参数。,通常，前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)可分别表示 式中 为前向通路增益， 为前向通路根轨迹增益； 为反馈通路增益， 为反馈通路根轨迹增益。,注意：增益和根增益在概念上的差别。,（4-2）,（4-3）,系统的开环传递函数为 为系统的开环增益， 为开环系统的根轨迹增益； 为开环系统的零点数

11、， 为开环系统的极点数。 将式（4-2）至（4-4）代入（4-1）可得闭环传递函数为,（4-4）,（4-5）,得以下结论： (1)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统 闭环零点=开环零点（不需要再另外考虑了）。 (2)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关（这个关系由下边重点介绍的根轨迹图来解决）。 （3）闭环根增益：在nm时，就等于 。n=m时， 对于单位反馈，,注意闭环传递函数三要素,说明：,比较,和,提问：n=m时如何？,三、根轨迹增益 与开环增益K的关系 由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为 （4-6） 式中 是开环传递

12、函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（ ）,型系统（ ）或型系统（ ）等。 将（4-4）代入（4-6）可得,开环系统的根轨迹增益 与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。 由式（4-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1时的比例因子。在例4-1中系统的开环传递函数为 其开环增益为 对于本系统，根轨迹增益 与开环增益K间的关系为 ，它们之间仅相差一个比例常数2。,四、根轨迹与系统性能 以图4-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不

13、稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能 当01时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。,根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点随着开环根轨迹增益的变化而变化的全部可能分布,并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦闭

14、环极点确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（4-5）直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。,4.2 绘制根轨迹的规则,一、绘制根轨迹的依据 在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为,基本公式：,基本公式：,幅值条件：,相角条件：,基本公式：,为已知。,可变参数。,S为试探研究点。

15、,综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。 在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。,用角度表示的相角条件为：,这就是绘制根轨迹图的钥匙和关键： 以试探点s为交点，以相角条件为依据，寻找

16、并确定所有满足相角条件的点的集合，即根轨迹曲线族。,绘图基本思想 1.根据相角条件确定根轨迹上的一个点； 2.由幅值条件确定根轨迹该点对应的增益； 3.重复1.和2.,注意：凡是满足根轨迹方程相角条件的s平面上的点都是根轨迹上的点，凡是不满足相角条件的点都不是根轨迹上的点。,二、绘制根轨迹的基本规则,通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条： 根轨迹的起点与终点； 根轨迹的分支数； 实轴上的根轨迹； 根轨迹的渐近线； 根轨迹在实轴上的分离点； 根轨迹的起始角和终止角； 根轨迹与虚轴的交点。,规则一 根轨迹的起点和终点

17、 幅值条件可写成 当 ，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 。 当 时，必须有 ，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益 。,注意：离开公式不推导,下面分三种情况讨沦。 1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。 2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函

18、数中。,结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点（ )；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。,规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例4-1看出，系统开环根轨迹增益 (实变量）与复变量s有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条

19、连续的曲线。 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,例4-3 设系统的开环传递函数为 其中 、 、 、 、 为实极点和实零点， 为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。 实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即,规则三 实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。,图4-4 实轴上的根轨迹,选择so作为试验点。开环极点到s0点的

20、向量的相角为 开环零点到s0点的向量的相角为,在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。,实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1 、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为180o。若s0为根轨迹上的点，必满足相角条件。,结论：只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。,注意这里用的方法,规则四 渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。

21、,渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为,证明：,式中,用多项式除法可得,当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：,由特征方程1+G(s)H(s)=0得渐进线方程为：,二项式定理：,当s值非常大时，近似有,则渐近线方程变为,渐近线方程的几何表示：,得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角,在例4-1中，开环传递函数为 开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为 和 ，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。 图例,例4-2 已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。,解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三

22、条渐近线与 实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是 渐近线如图4-3所示。,图4-3 根轨迹的渐近线,规则五 根轨迹的分离点 分析例4-1，当系统开环增益 由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动(0 1), 相遇在点 ，当 1后，离开实轴进入s平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交。我们称该点为根轨迹的分离点。实际上, 点是例4-1系统特征方程的等实根。一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零

23、点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图4-5上的分离点 和 。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-6中的分离点A和B。显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。,图4-5 实轴上根轨迹的分离点,图4-6 复平面上的分离点,由上面分析可知，根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。 系统的特征方程可写成 （4-22） 对式（4-22）求导可得 （4-23） 式（4-23）称为分离点方程。对于一个n阶系统，解式（4-23）可得到n-1个根 分离点方程的另一种形式为 （4-24） 式中，

24、为开环零点的数值， 为开环极点的数值。,当开环系统无有限零点时，则在方程（4-24）中，应取 。此时，分离点方程即为 （4-25） 只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如图4-6所示）.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。 对于例4-1，由式（4-23）可得分离点方程 即 解得 ， 位于实轴根轨迹上（由0到-2的线段上），故它是实轴上的分离点。,例4-4 已知系统的开环传递函数为 试求出系统根轨迹与实轴的交点。,解 本系统无有

25、限开环零点，由式（4-25） 可得 即 解出 ， 由规则五知，实轴上的根轨迹为-1到-2线段和-3到-线段。 不在上述两线段上，应舍去。 是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-7所示的根轨迹图。,图4-7 根轨迹的分离点,规则六 起始角与终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题, 先给出定义如下： 起始角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的 和 。 终止角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看

26、图4-8（b）中的 和 。,图4-8(a) 根轨迹的起始角和终止角,图4-8(b) 根轨迹的起始角和终止角,通过例4-5来分析起始角与终止角的大小。,例4-5 已知系统的开环传递函数为 且p1和p2为一对共轭复数极点，p3和 z1分别为实极点和实零点，它们在s平面上的分布如图4-9所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1和p2 的起始角 和 。,图4-9 起始角 的求取,对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得 由于A点无限靠近 点，,推广为一般情况可得求起始角的关系式为,同理，可得到求终止角的关系式为,规则七 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根

27、（实部为零）。这时，用 代入特征方程可得 即,由此可得虚部方程和实部方程为 解虚部方程可得角频率 ，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用 代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。 的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。,例4-6 试求出例4-4中根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值 。,解 由例4-4知系统的开环传递函数为 其特征方程是 令 并代入特征方程得,其虚部和实部方程分别为,解虚部方程得 由于 不是根轨迹上的点，应舍去. 故 为根轨迹与虚轴的两个交点。 将

28、其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。 系统的根轨迹如图4-10所示。 当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值 和根轨迹与虚轴的交点 。,图4-10 根轨迹与虚轴的交点,s,-1,-2,-3,0,d,s,以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根轨迹的起点（开环极点 )用符号“ ”标示；根轨迹的终点(开环零点 )用符号“ o ”标示。 根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值 的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的 值，如起点（ )，终点（ )；根轨迹在实

29、轴上的分离点d ( )；与虚轴的交点 （ ）。还有一些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。,例4-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。,解 该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s平面上。,三、绘制根轨迹图示例,由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。,根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 由于没有开环零点（m=0）, 三条根轨迹的终点均在无穷远处。,当k=0时 当k=1时 当k=2时,由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。,由规则五知，实轴上的

30、根轨迹为实轴上 到 的线段和由 至实轴上负无穷远线段。 由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为 。, 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。,解虚部方程得,其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为 将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值 。绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。,由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的 开环根轨迹增益的临界值 。用 代入特征方程得,图4-11 例4-7系统根轨迹图,解 是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 由开环传递函数

31、可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极 , 根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。 由规则五知，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。,例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是,即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为 。,由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。,证明 已知系统的开环零点和极点分别为 ， ，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s、 、 和 代入得 即,应用三角公式,为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面

32、上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点 的圆弧。,将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有,方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。,图4-12 例4-8系统的根轨迹图,由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。,将上

33、例与图例比较,例4-9 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为 由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。,由规则三知，4条根轨迹的起点分别是系统的4个开环极点,即 ， 。由于系统无有限开环零点（m=0），4条根轨迹的终点均在S平面的无穷远处（无穷零点）。,渐近线与实轴正方向的交角为 当k = 0时， 当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，,由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为,由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离

34、点）。分离点方程是 即 解方程得到,由规则七可求出复数极点 和 的起始角, 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困难。下面采用劳斯判据求出 和 的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下： 1 6 4 4 0 5 0 0,令劳斯表中 行的首项系数为零，求得 ， 由 行系数写出辅助方程为 令 ，并将 代入辅助方程可求出 。系统的根轨迹如图4-13所示。,0,图4-13 例4-9系统的根轨迹图,4.3 广义根轨迹,前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益 为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重

35、研究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。,一. 参数根轨迹,例4-10 已知系统的开环传递函数为 试绘制以时间常数 T 为可变参数的根轨迹。,解 系统的特征方程 或 用 除等式两边得,令 （4-35） 则有 （4-36） 称 为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益 的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹。,系统特征方程的最高阶次是

36、3，由规则一和规则二知，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=)是等效开环传递函数的三个零点，即 ；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即mn。在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。,与nm情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。因此，本例的三条根轨迹的起点(T=0)分别为 ， 和无穷远处（无限极点）。 由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-线段。 由规则六可求出两个起始角分别为,由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用 代入特征方程得 由

37、此得到虚部方程和实部方程分别为 解虚部方程得 的合理值为 ， 代入实部方程求得 秒，所以 为根轨迹与虚轴的两个交点。,图4-14 例4-10系统的根轨迹图,由根轨迹图可知，时间常数 秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益 对系统性能的影响是很方便的。 由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤： 先根据系统的特征方程 求出系统的等效开环传递函数 ，使 与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即,其中 为除开环根轨迹增益 以外的任何参数，它是绘 制参数根轨迹的可变参数。 根据绘制普通根轨迹的七条基本规则

38、和等效开环传递函数 绘制出系统的参数根轨迹。,（4-37）,（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）,二 正反馈系统的根轨迹,正反馈系统的特征方程是 （4-38） 即 （4-39） 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为 （4-40） （4-41） 与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；,负反馈系统的根轨迹遵循180相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修

39、改，这些规则是： 正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为 （4-42）, 正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 正反馈系统的起始角和终止角应为 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹的绘制方法。,例4-11 已知正反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解：由系统的开环传递函数与例4-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是0（k = 0）、120（k = 1）和-120（k = 2）。,在例4-7中，由规则五求出的极值方程的解有两个

40、，即 和 ，对于例4-7的负反馈系统， 是根轨迹与实轴交点的合理值，因为它是实轴上根轨迹上的一点； 不在实轴的根轨迹上，故在例4-7中被舍去。 这种情况在本例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的根轨迹改变了， 在实轴的根轨迹上，它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值，而 不在实轴的根轨迹上，应舍去。由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分离点时，应考虑规则三变化的影响。,本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例的根轨迹如图4-16所示。由图4-16可看出，三条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部，这就意味着无论 为何值，系统都存在S平面右半

41、部的闭环极点，该正反馈系统总是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系统(例4-7，图4-1l)，它的临界根轨迹增益 ，即当 时系统是不稳定的，当 时系统是稳定的。,图4-16 正反馈系统的根轨迹,三 非最小相位系统的根轨迹,所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小相位系统。非最小相位系统一词源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。,例4-12 已知负反馈

42、系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 该系统有一位于s平面右半部的开环极点（ ），是非最小相位系统。系统特征方程的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点分别是它的四个开环极点:,根轨迹的一个终点是有限开环零点，即 ，其余三个终点均在无穷远处（无限零点）。 由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴的交点为 渐近线与实轴正方向的夹角分别是60(k=0), 180(k=1)和-60(k=2)。,由规则三知，实轴上的根轨迹是由0至1线段和-1至-线段。 由规则五的分离点方程可求出根轨迹与实轴的交点，即由方程 得 ，解方程得到4个根分别为 ， ， ,

43、 显然， 和 为根轨迹与实轴交点的合理值，即 和 为根轨迹的分离点。,由规则六可求出共轭复数极点 和 的起始角分别为 根轨迹与虚轴无交点。该系统的根轨迹如图4-17所示。 该非最小相位系统除了有位于s平面右半部的开环零、极点外，其绘制根轨迹的规则和步骤与最小相位系统完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系统是正反馈系统，在绘制根轨迹时应遵循前面介绍的0相角条件。,图4-17 非最小相位系统的根轨迹,若某负反馈系统的开环传递函数为,系统的特征方程为,根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为,4.4 线性系统的根轨迹分析法,自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与

44、系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶系统是很困难的。,根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。

45、这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。,例4-13 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比 时系统的动态性能指标。,解 先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。 系统的特征方程是 或,由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹，起点分别是系统的四个开环极点，即 ， ， ， ；且四条根轨迹都趋向无穷远处。 由规则三知实轴上的根轨迹是由0至-1线段和由-2至-3线段。 由规则四可求出四条渐近线与实轴的交点为-1.5，它们与实轴

46、正方向的夹角分别是 和 。,由规则六可求出根轨迹与实轴的两个交点（分离点）分别为 ， 。,由劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点，先根据特征方程列出劳斯表 1 11 6 6 0 10 0 0,由 行的首项系数求得 ，用 和 代入 行辅助方程得到根轨迹与虚轴的交点为 。绘制出根轨迹的大致图形如图4-18所示。,图4-18 例4-13的根轨迹图,系统稳定性分析 由根轨迹图知，有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点 ，且交点处对应的临界开环根轨迹增益 。,由开环根轨迹增益 与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数,系统动态性能指标 首先求出满足阻尼比 时系统的主导极点 的位置（假定 、