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1、5 根轨迹法,设控制系统的结构图如图所示。现在为了使系统的特征方程的根的实数部分不大于-1，试确定K的取值范围。,闭环控制系统的性质主要由闭环极点描述，所以确定闭环极点在s平面上的位置尤为重要。设计控制系统时，总希望通过调整系统参数，使闭环极点位于s平面上适当的位置。但当系统阶次比较高时，求取闭环极点会比较复杂，特别是当分析系统参数变化对整个系统的影响时，就显得非常复杂与不便。根轨迹法是通过图解法方便的表示闭环极点和系统某一参数变化的全部关系，在工程上得到了较广泛的应用。,5.1根轨迹的概念 根轨迹是开环系统的某一参数从零变到无穷时，闭环特征方程的根在s平面运行的轨迹。 根轨迹是通过系统开环传
2、递函数和闭环传递函数之间的关系来建立的，表现的是闭环极点随系统某一参数变化而产生的变化，进而通过这些变化来分析系统的性能。,1、过阻尼情况 系统有两个不相等的负实根 2、欠阻尼情况 系统有一对共轭极点,5.2根轨迹方程 典型反馈控制系统的闭环传递函数为： 根据其特征方程，可以得到： 上式即为根轨迹方程,根轨迹方程也可表示为： 相角条件 幅值条件,传递函数也可写为如下形式： 其向量表达式为： 则根轨迹方程可表示为,5.3绘制根轨迹的基本法则 系统开环增益K变化时绘制根轨迹法则如下： 1)根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如 果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条
3、根轨迹终止于无穷远处。,2)根轨迹的分支数 根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。 3)根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴。 4)实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环实零极点数目之和为奇数。,5)根轨迹的渐近线 根轨迹有(n-m)条渐近线，渐近线与实轴交点的坐标为： 与实轴夹角为：,例：,6)根轨迹的起始角和终止角 起始角 终止角,7)分离点（会合点） 8)实轴上分离点的分离角恒为,9)根轨迹与虚轴的交点 将 代入特征方程，得： 令 可解出值和对应得临界开环增益。,10）系统闭环极点之和为常数 当 时，系统闭环极点之和等于开环极点之和，而与 无关，即 系统闭环极点之和 通常将 称为极点的重
4、心，可知当 值变化时，极点的重心保持不变。,例：某单位反馈系统，其开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图,例：负反馈系统的开环传递函数为： 试绘制系统的概略根轨迹，并确定使系统稳定的 范围。,单位反馈系统开环传递函数为： 求其根轨迹，并判断系统稳定性。,5.4系统闭环零点、极点的分布与性能指标 由根轨迹图可求得闭环极点，由系统反馈通道传函H(s)的极点和前向通道传递函数G(s)的零点构成闭环系统的零点。 为使系统具有较好的动态性能，闭环零、极点的分布有如下一些基本要求：,1)为保证系统稳定，闭环极点必须位于s平面的左半平面上； 2)为使系统快速性好，闭环极点应远离虚轴，为使系统平稳性好，复数极
5、点应位于s平面中与负实轴成45夹角线以内； 3)远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小，若某一极点比其它极点离虚轴远46倍，则它对瞬态响应的影响可以忽略； 4)零点应靠近离虚轴近的极点，以提高快速性。,偶极子、主导零、极点 偶极子：相互距离很近的闭环零、极点被称为偶极子。一般它们之间的距离要小于它们本身到原点距离的十分之一。 主导零、极点：那些离虚轴很近，又不构成偶极子的极点和零点，对系统时间响应起主导作用，决定系统瞬态响应性能的零、极点。,主导极点法 主导极点法就是留靠近虚轴，又不十分靠近闭环零点的一个或几个极点作为闭环主导极点，略去非主导极点、偶极子，从而简化高阶系统。,系统闭环传函为 其零
6、极点分布图为,忽略偶极子后，闭环传函可近似为： 忽略偶极子前后系统对阶跃输入信号的响应见下图：,若闭环传函为 其零极点分布为：,例：已知某系统开环传递函数为 若给此系统增加一个开环极点( )，或增加一个开环零点( )。试分别讨论对系统根轨迹和系统动态性能的影响。,由根轨迹分析系统性能时，闭环零、极点对系统性能影响如下： 1)闭环系统的稳定性仅由闭环极点决定，与闭环零点无关； 2)如果闭环系统无零点，且只有闭环实数极点，系统响应的运动过程是单调的，如果存在复数极点，系统响应必然产生振荡； 3)闭环主导极点决定系统的超调量和调节时间，即决定系统的动态性能；,4)开环极点减少系统的阻尼，使超调量增大，开环零点增大系统的阻尼，使超调量减少，且其作用随接近坐标原点的程度而增加； 5)远离虚轴的偶极子可以忽略，但靠近原点的偶极子要考虑其影响； 6)S平面右半平面的零极点不能轻易忽略，即使在S平面左半平面，若很靠近原点同样不能轻易忽略。,参量根轨迹 例：有图示随动系统，在加入速度负反馈后，试分析其对系统性能的影响。,