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1、江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会,动载荷,2019年7月20日,材料力学,南京航空航天大学 邓宗白,2,一、动静法,动载荷,三、强迫振动的应力计算,二、杆件受冲击时的应力和变形,3,一、动静法,将遍布于构件整个体积内的惯性力附加在构件上，构件在作用力与惯性力的共同作用下保持动力平衡状态，把动载荷问题作为静载荷来处理，这就是动静法，或称为达朗贝尔原理。,1、匀加速直线运动,动荷系数：,动应力：,注：若不考虑重力的影响,动静法,4,有一钢杆长为 ， 端固定一重量为 的物体， 端刚性固联在小车上，如图所示。杆自身重度为 ，当小车沿斜面方向以等加速度 前进时，试求杆 端截面处的最大拉应力及最大压应
2、力。,例1,动静法,5,解： 杆自重 为轴向均布载荷,重物 的惯性力 是与 反向的集中载荷,杆的惯性力 是与 反向的均布载荷,杆受横力如图（c）所示。,动静法,6,杆受轴力如图（d）所示。,动静法,7,2、匀速转动,动荷系数：,（1）平面运动,（2）空间运动,物体在一个平面内作匀速转动，其向心加速度一般为一个常量。,物体在空间内作匀速转动，其向心加速度通常是一个变量。,动静法,8,图示开口圆环， 端与刚性杆 连接， 杆绕通过 点的铅垂轴以等角速度 作水平转动。已知：材料的密度为 ，弹性模量为 ，圆环平均半径为 ，环杆横截面直径为 ，试求 点的径向位移和该截面的转角（只考虑弯曲效应）,例2,动静
3、法,9,解：单位弧长上的惯性力:,段弧长上的惯性力:,任意圆心角 对应横截面上的弯矩为,用单位力法求解,在 点加一径向单位力,点径向位移为,动静法,10,在 截面加一单位力偶，如图（d）所示,截面的转角为,动静法,11,图示重为 、长为 的杆件 ，可在铅垂平面内绕 点自由转动，当此杆以等角速度 绕铅垂轴 旋转时，试求： （1） 角的大小； （2）杆上的最大弯矩。,例3,动静法,12,解：（1）杆 重力,惯性力,匀速运动时，应满足平衡方程 ，即,动静法,13,（2）在垂直杆轴向的分量,重力的分量,惯性力的分量,在垂直杆轴向的支反力 为,杆内弯矩：,动静法,14,又,故,由,将 代入，得最大弯矩为
4、,有极小值，为 0；,有极大值，,动静法,15,二、杆件受冲击时的应力和变形,1、冲击物垂直下落冲击,、冲击物水平以速度 冲击,杆件受冲击时的应力和变形,16,题型分类： （）静不定结构和组合变形的冲击； （）非线性结构的冲击； （）突然刹车引起的冲击； （）考虑被冲击杆件质量的冲击； （）其他。,注：冲击问题的求解关键是能量守恒原理。,杆件受冲击时的应力和变形,17,图（a）所示重为 的重物自高位 处自由下落冲击于薄壁圆环顶点 ，已知 为常数，求 点的最大动位移的计算式。,一、静不定结构和组合变形的冲击,杆件受冲击时的应力和变形,例4,18,解：当环顶端A处作用静力P时，求 。取1/4圆环A
5、D段，如图（b）所示。,由正则方程,（D截面处的转角为0）,解得：,杆件受冲击时的应力和变形,19,由莫尔定理，顶端A的垂直位移：,顶端A点的最大动位移：,杆件受冲击时的应力和变形,20,图示折杆 在 段的自由端截面 处有一重物 自高度 处下落。已知 ， ， ， ， ， ，试按第三强度理论计算结构受冲击时 段的最大动应力。,例5,杆件受冲击时的应力和变形,21,解： 段弯曲变形引起 点的位移为：,段扭转变形引起 点的唯一为 ，先求,杆 的 截面受扭矩：,两端支反力偶：,杆件受冲击时的应力和变形,22,段弯曲变形引起 点的位移为 ，先求,如图（c）所示，当 时， ，挠曲线一般方程式为：,当 时，
6、 ，得,杆件受冲击时的应力和变形,23,将 ， 的值代入，得,点静位移,杆件受冲击时的应力和变形,24,杆的弯曲和扭转作和变形， 截面为危险截面。,杆件受冲击时的应力和变形,25,有一悬臂梁 ，长度为 ，抗弯刚度为 ，梁本身自重可忽略不计。在自由端 下方有一弹簧，与之相距一铅垂的间隙 ，当在梁自由端作用一静载 时，梁正好与弹簧接触，若将 突然放在自由度上，则梁接触弹簧后使弹簧 压缩 。求弹簧刚度值 。,例6,杆件受冲击时的应力和变形,二、非线性结构的冲击,26,解： 加载后重物 势能减少：,梁的变形能：,弹簧变形能：,杆件受冲击时的应力和变形,27,能量守恒原理：,弹簧刚度：,又,故,杆件受冲
7、击时的应力和变形,28,图示两相同梁AB、CD，自由端间距 ，当重为Q的物体突然加于AB梁的B点时，求CD梁C点的挠度 。,例7 （第三届全国周培源大学生力学竞赛试题）,杆件受冲击时的应力和变形,29,解： 重物降下的位能为 变成两杆的应变能。,杆1,杆2,即,由题 ，代入后得,即,杆件受冲击时的应力和变形,30,图示两根完全相同的悬臂梁，抗弯刚度为 ，在自由端两者有一间隙 ，今有一重物P从高度 落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。,例8,杆件受冲击时的应力和变形,31,解：当梁受到最大冲击力作用时，上梁的最
8、大挠度为 ， 下梁的最大挠度为 ，根据能量守恒原理，有,即：,所以：,设两梁中间的相互作用力为F，则：,消去F得最大冲击力：,杆件受冲击时的应力和变形,32,在悬臂钢梁的端部装一吊车，将重物以匀速 下放（如图）。今吊车突然制动，求钢绳中的动应力。设梁长为 ，抗弯刚度为 ，绳长为 ，绳的横截面积为 ，钢的弹性模量为 ，重物的重量为 ，梁与车的质量不计。,例9,杆件受冲击时的应力和变形,三、突然刹车引起的冲击,33,解：将梁与绳看成一弹性系统，该系统的柔度系数（载荷与 柔度系数相乘即给出载荷作用点的变形）为：,设制动前系统的变形量为 ，制动后系统的变形量为 （图（b）。根据能量守恒原理，制动前、后
9、能量相等，于是：,式中 为制动后绳中的动拉力。由胡克定律知：,（a）,（b）,杆件受冲击时的应力和变形,34,将（b）式代入（a）式，得：,即：,故绳中的动应力为：,式中 是绳中的静应力，。,动荷系数：,杆件受冲击时的应力和变形,35,图（a）所示均质悬臂梁重为 ，在自由端受到重物 自高度为 的自由落体的冲击。如果考虑杆件的质量，试求动荷系数的表达式。,例10,杆件受冲击时的应力和变形,四、考虑被冲击杆件质量的冲击,36,解：悬臂梁自由端受P作用时的挠曲线方程为：,（1）求相当质量,所以：,（2）求冲击物与相当质量的共同速度,记,杆件受冲击时的应力和变形,37,由动量守恒,（3）求动荷系数,式
10、中：,杆件受冲击时的应力和变形,38,3、阶梯梁比等截面梁节省材料（分数或百分数表示）,2、比值 ；,矩形等截面悬臂梁高 ，宽 ，长 。重Q的重物从高 处落到自由端并附着它。梁的重量不计，E为材料的弹性模量， 为截面轴惯性矩。,例11（第四届全国周培源大学生力学竞赛试题）,杆件受冲击时的应力和变形,五、其他类型的冲击,39,解：）,）,故得：,杆件受冲击时的应力和变形,40,）,杆件受冲击时的应力和变形,41,杆件受冲击时的应力和变形,42,由,有,则,杆件受冲击时的应力和变形,43,如图所示，由相同材料和相同截面尺寸的等直杆组成的桁架当重物从H的高度下落到D点时，动力放大系数（最大冲击载荷与
11、对应静载荷之比）为10。若将桁架各杆的截面面积提高50%，而保持结构其余几何参数，重物下落的高度和位置不变，则： 1、动力放大系数为多少？ 2、在安全因数相同的条件下，重物的许用重量提高多少？（用百分数表示）（忽略桁架质量及冲击过程的能量损失，并设结构为线弹性）,例12 （江苏省第三届大学生力学竞赛试题）,杆件受冲击时的应力和变形,44,解:,1、设动力放大系数为K，则：,其中 为D点静位移。将K=10代入上式得：,因桁架为线弹性结构，静位移与杆横截面面积A成反比。,其中B、P与截面面积无关，,杆件受冲击时的应力和变形,45,设横截面面积增加后的桁架D点的静位移为 ，动力放大系数为 ，许用载荷
12、为 ，则,故,杆件受冲击时的应力和变形,46,2、桁架最大动应力与动载荷 成正比，与杆横截面面积成反比,其中：C与 和A无关。,当新旧桁架许用最大动应力相等时安全因数相同,杆件受冲击时的应力和变形,47,钢杆以速度 水平撞击刚性壁，若杆的弹性模量 密度 。假设冲击时，杆的轴向应力线形分布，A端为零，B端最大，试求杆的最大轴向冲击力。,例13,杆件受冲击时的应力和变形,48,解：由能量守恒,其中，设A端为坐标起点，杆长为 ，横截面面积为A。,用密度表示质量,解出最大轴向应力,杆件受冲击时的应力和变形,49,三、强迫振动的应力计算,振动物体的运动方程为：,其中， 为重力， 为弹簧系数， 为干扰力，
13、 为阻尼力。,系统的固有频率,阻尼系数,强迫振动的应力计算,50,设把干扰力 按静载荷的方式作用于弹性系统上的静位移为,放大系数：,振幅：,振动的动荷系数：,强迫振动的应力计算,51,图示矩形截面（ ）梁，在跨中 有 的重物作强迫振动，已知 ， ， ， ，不计梁的质量，求该梁振动时允许的最大振幅 。,例14,强迫振动的应力计算,52,解：取相当系统如图示，则：,其中：,强迫振动的应力计算,53,强迫振动的应力计算,54,等截面钢架简支如图（a）所示，集中质量为 的重物置于竖杆离梁为 处，在图示平面内的上下振动频率与左右摇摆的振动频率在什么条件下是一样的？（已知 、 ，并忽略钢架自重，求 之值）
14、,例15,强迫振动的应力计算,55,解： 由 ，上下振动时,左右摆动时，利用叠加法求得：,相当于C点位固定端，重物在水平力 作用下的水平位移 ；,式中：,表示由于弯矩 在C点处产生的转角引起的重物水平位移。,强迫振动的应力计算,56,1、梁的固有频率 ； 2、在梁振动任意时间t时x截面的弯矩 ；,例16 （第二届全国青年力学竞赛试题）,图示一根悬臂矩形截面等直弹性梁，在自由端固定一集中质量M。在梁的上表面撒了一些细沙粒，静平衡位置梁的挠度忽略不计。首先，给该梁自由端以初始向下的铅垂位移 。然后，突然放松使梁产生振动。已知梁的截面惯性矩为 ，长度为 ，弹性模量为E，不计梁和沙粒质量对振动的影响。集中质量M的转动惯量亦忽略不计。重力沿y轴的负方向，重力加速度为g，试求：,强迫振动的应力计算,注：这是自由振动问题,57,58,解：,当 时,得：,强迫振动的应力计算,59,1)由 及,2),得：,强迫振动的应力计算,60,3)设沙粒质量为,沙粒刚好跳起的条件为：,即：,强迫振动的应力计算,61,）当 时，就会有沙粒跳离该梁,强迫振动的应力计算,62,谢谢各位,