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1、2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题： DVD在线租赁,随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。,考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱
2、程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：,(1) 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保
3、证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？,(2)表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从http:/ (4)如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。,DVD在线租赁评阅要点,问题（1） 网站购买DVD的最优数量 对表1的一种理解是根据表1得到某DVD被选中的概率（记为 ），设网站的会员总数量为 ，在比较大的情况下，则该DVD的总需求可用正态分布N(np, npq) 近似（ ），据此可在一定的置信水平下得到有
4、需求会员人数的上限M。设该DVD购买x张，当x M/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD的可用张数是1.6x张，要保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足, 即1.6x M*P%，可求得最小的x；当xM/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD的可用张数是0.6M+0.4x张，也可求得最小的x。综合两种情况可得到近似结果。采用数值模拟（仿真）也是一种方法。,注 对表1可以存在其他理解方式，例如认为表中给出的某DVD的需求只是初始时段（一个月或半个月）的需求，并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化。可相应地考虑三个月的问题. 问题（2） 网站分发DVD 用 分别表示当前需
5、要分发的会员订单数量和DVD种类，用 表示第 种DVD的现有数量，用 表示表格文件中给出的订单矩阵。用0-1变量 表示是否选择第种DVD分配给第 位会员，用变量yi表示第 位用户是否得到DVD。,一种容易想到的方法是累加会员满意度，使其最大化。会员 得到第 种DVD的满意度sij可以自行定义。一种0-1线性规划模型：,问题及数据形式(EXCEL表格),注 本题（尤其B题）数据量较大，但很容易用Lingo软件算出最后结果。如果将模型松弛成线性规划求解再舍入到0-1解，应该验证解的可行性和估计解的误差。如果模型正确但因软件限制影响到计算结果，可酌情处理。如果采用启发式算法求解问题，应该说明算法的效
6、率和效果。进行敏感性分析也是值得鼓励的。此外，建立网络优化的模型也是可能的。,问题（3） 购买和分发同时考虑 一种近似方法是在一定的假设下把问题分解成刚刚考虑过的购买和分发两个子问题。考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的，但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了哪些DVD，因此难度较大。采用数值模拟（仿真）也是一种方法。,问题（4） 其他问题(D题没有这一问) 要求同学自己思考、提出问题，并解决问题。这也是本题的重要组成部分，可供同学充分发挥其创造性，特别是提出问题的能力，主要依据论文中提出的问题的实用和理论价值以及建模思路评判论文的优劣。,CUMCM-2005B DVD在线租赁 （问题2 DVD最优分配）,模型二：网络优化模型 最小费用流,会员 DVD,aij=aij (aij 0) aij=M (aij =0),存在多项式时间算法 两个模型等价吗?,小结,模型完整/准确 模型/算法创新 软件使用恰当 深入思考/分析,