世纪金榜二轮专题辅导与练习专题一第三讲.ppt

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1、第三讲 不等式、线性规划,一、主干知识 1.二元一次不等式与平面区域的关系：,2.基本不等式： 当a0,b0时, _(当且仅当a=b时取“=”). 3.利用基本不等式求最值： 若p，s为常数，a，b(0，+). (1)当ab=s时，a+b 当且仅当a=b时等号成立. 即两数的积是定值,则两数的和有最小值 . (2)当a+b=p时, 当且仅当a=b时等号成立.即两 数的和是定值,则两数的积有最大值.,二、必记公式 四个重要不等式： (1)|a|0，a20(aR). (2)a2+b2_(a,bR). (3)ab (4),2ab,三、常用结论 一元二次不等式的恒成立问题： 1.ax2+bx+c0(a

2、0)恒成立的条件是 2.ax2+bx+c0(a0)恒成立的条件是,1.(2013南京模拟)已知关于x的不等式(ax-a2-4)(x-4)0的 解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为 _. 【解析】因为A中含有n个整数，所以不等式(ax-a2-4)(x-4)0 中的a0等价于 0，所以 而当n最小时， 最大.因为 a0，所以 (当且仅当a=-2时取等 号). 答案：-2,2.(2013安徽高考改编)已知一元二次不等式f(x)0的解集为_. 【解析】由f(x)0的解 集为 所以当 时，有 即 答案：x|x-lg 2,3.(2013常州模拟)设x,y满足约束条件 则2x-y的最大值

3、是_. 【解析】在平面直角坐标系中，画出满足约束条件 的可行域如图.,显然在点(2，1)处2x-y取得最大值22-1=3. 答案：3,4.(2013陕西高考改编)在如图所示的锐角 三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m) 的取值范围是_.,【解析】设矩形高为y,由三角形相似得: 且x0,y0,x40,y40，xy300, 整理得y+x=40, 将y=40-x代入xy300， 整理得x240x+3000,解之得10x30. 答案：10x30,热点考向 1 比较大小与不等式的解法 【典例1】(1)设00的解集为 其中a，b 为常数，则不等式2

4、x2bxaf(5a)，则实数a的取值范围是_.,【解题探究】 (1)作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤是什么？ 提示：作差；变形；判断符号；得出结论. (2)方程 ax2bx2=0的解是多少？ 提示：由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系可 知，方程 ax2bx2=0的解为 与 (3)多层对应关系时，应如何求函数值？f(x)的单调性如何确 定？ 提示：多层对应关系求函数值时，应从里向外依次进行；可先 画出函数的图象，观察得出其单调性.,【解析】(1)因为0x1，所以 所以只需 比较1x与 的大小因为 所以 答案：c (2)依题意知， 是一元二次方程ax2bx20的两根， 于是，不等

5、式2x2bxa0即是2x22x120，解得2x3. 答案：x|-2x3,(3)f(-1)= =2, 所以f(f(-1)=f(2)=1-32=-5. 画出函数f(x)的大致图象如图所示.,由图象可知函数f(x)在定义域上单调递减， 所以由f(2a2-3)f(5a)得， 2a2-35a，即2a2-5a-30， 解得 即实数a的取值范围是 答案：-5,【方法总结】 1.比较两数(代数式)大小的“两种”思路 (1)利用不等式的性质、基本不等式比较大小. (2)利用函数的单调性比较大小，必要时需构造函数.,2.确定含参二次不等式的分类标准 (1)分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次

6、不等式. (2)分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向. (3)分类标准三：判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解. (4)分类标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小.,【变式训练】1(2013上海模拟)若 则下列不等式 a2b2 abb2 1 其中正确的序号为_.,【解析】因为 所以b-a0，因此b2a2，正 确；又因为 所以b2ab，正确；因为ba0, 所以 正确；由ba0知 错误. 答案：,2.(2013北京高考改编)设a,b,cR,且ab,则下列不等式 acbc a2b2 a3b3 其中正确的是_. 【解析】当c=0时，不正确；当a0,bab时，也不

7、正确；而y=x3在(,+)上为增函数，所以a3b3.所以正确. 答案：,热点考向 2 基本不等式及其应用 【典例2】(1)已知a0，b0，且2ab4，则 的最小值为 _. (2)(2013常州模拟)定义minx,y为实数x,y中较小的数，已 知 其中a,b均为正实数，则h的最大值为 _.,【解题探究】 (1)2ab与ab有什么关系？ 提示：4=2ab (2)h2与 有何关系？ 提示：,【解析】(1)由2ab4，得 所以ab2，所以 当且仅当a=1,b=2时取等号,即最小值为 答案： (2)因为 所以 (当且仅当 时取等号). 答案：,【方法总结】 1.利用基本不等式求最值的注意点 (1)在运用

8、基本不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错. 2.求条件最值问题的两种方法 一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.,【变式训练】1.(2013天津高考)设a+b=2,b0,则当a=_ 时, 取得最小值. 【解析】因为a+b=2,b0，所以 当且仅当 时等号成立，此时a=2或 若a=2， 则 若 则 所以 取最小值 时，a=2. 答案：-2,2.某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提

9、 价p%,第二次提价q%；方案乙：每次都提价 若pq0， 则提价多的方案是_. 【解析】设原价为1，则提价后的价格: 方案甲：(1+p%)(1+q%),乙： 因为 因为pq0， 所以 即(1+p%)(1+q%) 所以提价多的方案是乙. 答案：乙,热点考向 3 线性规划问题 【典例3】(1)(2013江苏高考)抛物线y=x2在x=1处的切线与 两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点 P(x,y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是_. (2)(2013枣庄模拟)设z=x+y，其中实数x，y满足 若z的最大值为6，则z的最小值为_.,【解题探究】 (1)设z=x+2y,

10、则z的几何意义是什么？ 提示：zx2y中z的几何意义是直线x+2y-z=0在y轴上的截距的2倍. (2)z=x+y，且z的最大值为6，则x+y满足什么条件？ 提示：z=x+y，且z的最大值为6，则x+y6.,【解析】(1)抛物线y=x2在x=1处的切线易得为y=2x-1，令 z=x+2y， 画出可行域如下，易得过点(0，-1)时， zmin=-2，过点 时，zmax= 答案：,(2)由z=x+y得y=x+z，作出 的可行域,平移直线y=x+z， 由图象可知当直线经过C时，直 线的截距最大，此时z=6， 由 解得 所以k=3，解得B(6,3),代入z=x+y得最小值为z=6+3=3. 答案：-3

11、,【互动探究】若题(2)中的条件不变，求 的取值范围. 【解析】因为 表示点(x，y)与D(-7，0)连线的斜率. 由(2)解析可得kDO=0，kDB= =3, 因此，,【方法总结】线性规划中常见目标函数的转化公式 (1)截距型： 与直线的截距相关联. 若b0，则 的最值情况和z的一致；若b0，则 的最值情 况和z的相反. (2)斜率型： 即为点(a，b)与(x，y)连线的斜率.常见的 变形形式为：,(3)点点距离型：z=x2+y2+ax+by+cz= 表示(x，y)与 两点距离的平方与 的代数和. (4)点线距离型：z=ax+by+cz 表示(x，y) 到直线ax+by+c=0的距离的 倍.

12、,【变式备选】已知点M(x，y)的坐标满足不等式组 则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小 是_. 【解析】作出不等式组 表示的平面区域，则此平面区 域为ABC，且A(2，0)，B(0，1)， C(2，1)，于是， 答案：1,【备选例题】 【典例】(2013山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，M为 不等式组： 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为_.,【解析】作出可行域如图 由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由 得 即D(3,1),此时OM的斜率为 答案：,【方法总结】 1.平面区域的确定方法 平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平

13、面区域是各个不等式所表示的区域的交集,2.线性目标函数zaxby最值的确定方法 线性目标函数zaxby中的z不是直线axbyz在y轴上的截 距，把目标函数化为 可知 是直线axbyz在 y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得 最大值、什么情况下取得最小值,转化与化归思想 解决不等式中的有关问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)不等式恒成立问题中，求参数的取值范围.(2)已知不等式求函数的最值. 2.解题思路：往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解；最值问题常常转化为利用基本不等式求解. 3.注意事项：(1)在不等式的转化过

14、程中要注意不等号的方向.(2)利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”.,【典例】 已知不等式x2ax10. (1)若不等式对于一切x(0,2恒成立，则a的取值范围为 _. (2)若不等式对一切x2,2恒成立，则a的取值范围为 _. (3)若不等式对一切a2,2恒成立，则x的取值范围为 _.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：分离参数求解; 关注点：注意应用基本不等式. (2)切入点：转化为恒成立问题求解； 关注点：注意对x分类讨论. (3)切入点：利用函数求解; 关注点：注意自变量.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)原不等式可化为 而 所以a的取值范围是(，2 答案：(，2,(

15、2)因为x2,2， 当x0时，原式为02a010恒成立，此时aR； 当x0时， 则当x(0,2时，由(1)知a(，2， 所以当x2,0)时，可得 ， 令 由函数的单调性可知，f(x)maxf(1)2， 所以a2，)， 综上可知，a的取值范围是2,2 答案：2,2,(3)因为a2,2，则可把原式看作关于a的函数， 即g(a)xax210， 由题意可知， 解之得xR， 所以x的取值范围是(，) 答案：(，),【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移 1.若不等式x2+ax+10对一切x 恒成立，则a的最小值 为_. 【解析】设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 若 即a-1时， 则

16、f(x)在 上单调递减, 应有 若 即a0时，则f(x)在 上单调递增， 应有f(0)=10恒成立，,故a0. 若 即-1a0, 则应有 恒成立， 故-1a0, 综上所述，a的取值范围为 所以a的最小值为 答案：,2.已知a,b为正实数，且 若a+b-c0对于满足条件的 a,b恒成立，则c的取值范围为_. 【解析】因为a,b为正实数，且 那么可知 所以 当且仅当 时取等号. 因此可知c小于等于a+b的最小值即可，故有c的取值范围是 答案：c,3.已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒 成立，则a的取值范围为_. 【解析】设F(x)x22ax2a，则问 题的条件变为当x1，)时， F(x)0恒成立当(2a)24(2a) 4(a2)(a1)0，即2a1时， F(x)0恒成立又当0时，F(x)0 在1，)上恒成立的充要条件是, -3a-2. 故a的取值范围是3,1 答案：3,1,