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1、第二讲 函数与方程及函数的应用,一、主干知识 1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系: 对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.,2.零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,并 且有_,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,f(a)f(b)0,二、必记公式 几种常见的函数模型: (1)一次函数模型:y=ax+
2、b(a0). (2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a0). (3)指数型函数模型:y=abx+c(a0,b0且b1). (4)对数型函数模型:y=blogax+c(b0,a0且a1).,(5)分段函数模型:f(x)= (A1A2=). (6)形如y=ax+ ,x(0,+)(a0,b0)的函数模型.,1.(2013连云港模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 . 【解析】在平面直角坐标系中画出y=|x-2|与y=lnx的图象如图. 其交点有2个,即f(x)在定义域内有2个零点. 答案:2,2.(2013湖南高考改编)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4
3、x+5的图象的交点个数为 . 【解析】在同一坐标系中作出f(x)=2lnx和g(x)=x2-4x+5的图象就可看出有2个交点. 答案:2,3.(2013盐城模拟)如图，矩形ABCD的 三个顶点A，B，C分别在函数 的图象上，且矩形的边 分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为_.,【解析】显然点A在 上. 又因为A的纵坐标为2， 所以 所以D的横坐标为 ，显然B点的纵坐标为2，且B点在 的图象上，所以 因此B点的横坐标为4，C点的横坐标也 为4，又因为点C在 的图象上，所以C点的纵坐标为 所以D点的坐标为 答案：,4(2013昆明模拟)函数f(x) 的零点的个数为_ 【解析】当x
4、0时，由f(x)=0得x+1=0，此时x=-1不成立. 当x0时，由f(x)=0得x2+x=0，此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1，为1个. 答案:1,5.(2013西安模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 . 【解析】因为|y|=2x+1,所以y=2x+1或y=-2x-1,因为2x0,所以y1或y-1,所以若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是-1b1. 答案:-1b1,6.(2013大同模拟)已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)2xk0有且只有两个不同的实根，则 实数k的取值范围为_ 【解析】易知f(x)
5、 把方程f(x)2xk0化 为f(x)-2xk，在同一坐标系内作出函数yf(x)与y2x k的图象，由图知1k2. 答案：-1k2,热点考向 1 函数零点的确定及应用 【典例1】(1)(2013北京模拟)已知定义在R上的函数f(x)的 对称轴为x=-3，且当x-3时，f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间 (k-1，k)(kZ)上有零点，则k的值为_. (2)(2013济宁模拟)函数f(x) 的零点个数是_.,【解题探究】 (1)区间(k-1，k)(kZ)关于x=-3对称的区间是什么？ 提示：k-1关于x=-3对称后为-5-k；k关于x=-3对称后为-6-k， 故区间(k-1,k)(kZ)关
6、于x=-3对称的区间为(-6-k,-5-k). (2)当x0时，y=ln x与y=x2-2x有几个交点；当x0时， y=4x+1与x轴有几个交点？ 提示：两个；一个.,【解析】(1)当x-3时，由f(x)=2x-3=0，解得x=log23，因为1log232，即函数的零点所在的区间为(1，2)，所以k=2.又函数关于x=-3对称，所以另外一个零点在区间(-8，-7)上，此时k=-7. 答案：2或-7,(2)当x0时，由ln x-x2+2x=0，得ln x=x2-2x，设y=ln x， y= x2-2x，作出函数y=ln x，y= x2-2x的图象，由图象可知， 此时有两个交点.当x0时，由4x
7、+1=0，解得 所以函数 的零点个数为3. 答案：3,【方法总结】求函数零点的方法 (1)解方程法. (2)利用零点存在性定理. (3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.,【变式训练】 1.已知f(x) 则函数g(x)f(x)ex的零点 有_个. 【解析】函数g(x)f(x)ex的零点个数， 即为函数y=f(x)与yex的图象交点的个数， 如图所示，作出函数y=f(x)与yex的图象， 由图象可知两个函数图象有两个交点，所以函数g(x)f(x) ex有两个零点. 答案：2,2.(2013贵阳模拟)已知函数yf(x)和yg(x)的定义域及值域均为a，a(常数a0)，其图象如图所示，则方程f(
8、g(x)0根的个数为_.,【解析】由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为ax1a，g(x)a，a，所以由g(x)的图象可知yx1与yg(x)的图象有两个交点，即方程g(x)x1有两个根，同理g(x)x2，g(x)x3各有两个根，所以方程f(g(x)0有6个根. 答案：6,热点考向 2 函数与方程的应用 【典例2】(1)(2013镇江模拟)若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数为_.
9、(2)(2013北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)= f(x).当x0，1时，f(x)=2x.若在区间-2，3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_.,【解题探究】 (1)函数y=log3|x|的图象关于哪条直线对称？当x-1,0时，f(x)的图象如何？ 提示：y=log3|x|的图象关于y轴对称；当x-1,0时，f(x)的图象为x0,1时y=2x-1图象关于y轴对称的图象. (2)方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根说明函数y=f(x)与y=ax+2a有几个交点？ 提示：四个.,【解析】(1)先画出x0,1时f(
10、x)=2x-1的图象，因为f(x)为偶函数，因此，可作出f(x)在-1，1上的图象，又因为该函数的周期为2，所以f(x)在R上的图象即可画出，在y轴右侧作出y=log3x的图象，与y=f(x)有2个交点，又因y=f(x)与y=log3|x|都为偶函数，所以共有交点4个，即g(x)零点的个数为4. 答案：4,(2)由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2. 由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a，设y= f(x)，y=ax+2a，作出函数y=f(x)， y=ax+2a的图象，如图，要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相 等的实数根，则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kA
11、HakAG， 由题意可知，G(1，2)，H(3，2)，A(-2，0)，所以kAH= ， kAG = ，所以 a . 答案： a,【方法总结】由函数零点的情况求参数值(或取值范围)的方法 (1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解.,【变式训练】(2013新课标全国卷改编)若存在正数x使2x(x-a)1成立，则a的取值范围是_. 【解析】因为2x(x-a)0, 所以f(x)在(0，+)上单调递增， 所以f(x)f(0)=0-1=-1. 所以a的取值范围为(-1，+). 答案：
12、(-1，+),热点考向 3 函数在实际问题中的应用 【典例3】(1)(2013枣庄模拟)如图，将边长为1 cm的正方形ABCD的四边沿BC所在直线l向右滚动(无滑动)，当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的路线的长度为_cm.,(2)(2013常州模拟)某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足： ()y与a-x和x的乘积成正比； ()当x= 时，y=a2； ()0 t，其中t为常数，且t0,1. 设y=f(x)，求f(x)的表达式，并求y=f(x)的定义域. 求出附加
13、值y的最大值，并求出此时的技术改造投入.,【解题探究】 (1)当点C与l接触时，点A经过了怎样的路程？当点D与l接触 时，点A经过了怎样的路程？ 提示：当点C与l接触时，点A经过的路程是以C为圆心，AC为半 径的圆的 当点D与l接触时，点A经过的路程是以D为圆心， DA为半径的圆的 (2)正比例函数表达式如何？若二次函数的顶点坐标为 其表达式如何？ 提示：y=kx(k0)；,【解析】(1)AB=1 cm，所以AC= cm，滚动一周的路程是： 答案：,(2)设y=k(a-x)x,(k0)，由当x= 时，y=a2，可得k=4，所 以y=4(a-x)x，所以定义域为 t为常数，且t0,1. y=4(
14、a-x)x 当 即 t1，x= 时， 当 即0t 时，y=4(a-x)x在 上为增函数， 所以当 时， 所以当 t1，投入x= 时，附加值y最大，为a2万元. 当0t ，投入 时，附加值y最大，为 万元.,【方法总结】 1.解答函数应用题的思维流程 2.解答函数应用题的关键 将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数型函数模型等.,【变式训练】如图，需在一张纸上印上两幅 大小完全相同，面积都是32 cm2的照片排 版设计为纸上左右留空各3 cm，上下留空各 2.5 cm，图间留空为1 cm.照此设计，则这 张纸的最小面积是_cm2.,【解析】设照片
15、的长为x cm，则宽为 cm， 所以纸的面积y 6 +100196(cm2)，当且仅当x ，即x8时 等号成立 答案：196,【典例】已知定义在区间(0，+)上的函数f(x)满足 且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值. (2)判断f(x)的单调性. (3)若f(3)=-1，解不等式f(|x|)-2.,抽象函数的有关问题,【解题探究】 (1) 中如何求出f(1)的值？ 提示：令x1=x2=1即可. (2)判断函数单调性的步骤： 取值：在定义域内任取_； 判断符号：判断f(x1)-f(x2)的符号为_； 得出结论：由单调性的定义得出结论为_ _.,x1x2,f(x1)-f(x2)0,f(
16、x)在(0,+)上为,减函数,(3)f(9)的值为_； 当x0时，原不等式转化为_,当x0时,原不等 式转化为_.,-2,f(x)f(9),f(-x)f(9),【解析】(1) 在 中，令 x1=x2=1得：f(1) =f(1)-f(1)，化简得f(1)=0. (2)任取x1，x2(0，+)，且x1x2，则 1，由于当x1 时，f(x)0，所以 0，即f(x1)-f(x2)0，f(x1) f(x2).所以函数f(x)在区间(0，+)上是单调减函数. (3)由 =f(x1)-f(x2)，得f( )=f(9)-f(3)，而f(3)=-1， 所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间(0，+)上是单
17、调减函数.,又因为当x0时，由f(|x|)-2，即f(x)f(9)，解得x9.当x0时，由f(|x|)-2，即f(-x)f(9)，解得-x9，因此x-9. 因此不等式的解集为x|x9或x-9.,【方法总结】抽象函数有关问题的解决方法 (1)单调性的判定方法：可依据函数单调性的定义想办法判定f(x1)与f(x2)的大小关系. (2)奇偶性的判定方法：可依据题设中的关系，想办法出现f(x)与f(-x)，从而找到两者之间的关系.,【变式备选】(2013西安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0，1上的增函数”是“f(x)为3，4上的减函数”的_条件(填既不充分也不必要
18、、充分不必要、必要不充分、充要),【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，所以由“f(x)为0，1上的增函数”可以得到“f(x)为-1，0上的减函数”，所以可以得到“f(x)为3，4上的减函数”，反之也正确，因此“f(x)为0，1上的增函数”是“f(x)为3，4上的减函数”的充要条件 答案：充要,转化与化归思想 解决函数的零点问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)确定函数零点所在区间.(2)确定函数零点的个数.(3)根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围.,2.解题思路：函数的零点与相应方程的根，函数的图象与x轴的交点的横坐标间有等价关系，所以函数零点问题常转化为两熟悉函数
19、的图象的交点问题求解. 3.注意事项：把零点问题转化为图象交点问题求解时，准确地作出函数的图象是求解关键.,【典例】 (2013太原模拟)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1x1时，f(x)=x3,若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是_.,【审题】分析信息，形成思路 切入点：函数g(x)=f(x)-loga|x|至少6个零点,即函数y=f(x)与函数y=loga|x|至少有6个交点. 关注点：由f(x+1)=-f(x),可求函数的周期；再由，当-1x1时，f(x)=x3即可得出y=f(x)的图象.,【解题】规范步骤，
20、水到渠成 由f(x+1)=-f(x)得，f(x+2)=f(x),所以函数的周期是2，由 g(x)=f(x)-loga|x|=0. 得f(x)=loga|x|,分别作出函数y=f(x),y=m(x)=loga|x|的图象， 因为m(5)=loga|5|=m(-5).所以若a1，由图象可知要使函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少6个零点，则满足m(5)=loga51,此时 a5,若0a1,由图象可知要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至 少6个零点，则满足m(-5)=loga5-1,此时0a ，所以a的 取值范围是,答案:05,【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移
21、1若函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x)且x-1,1时， f(x)=1-x2,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区 间-5,5内与x轴交点共有_个.,【解析】因为f(x+2)=f(x)，所以函数y=f(x)(xR)是周期为2 的函数，因为x-1,1时，f(x)=1-x2,所以作出它的图象， 则y=f(x)的图象如图所示，再作出函数g(x)= 的图象， 容易得出在区间-5,5内与x轴的交点为8个.,答案：8,2.若函数y= 和y=|x-a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是_. 【解析】画出函数y= 和y=|x-a|的图象(如图). 直线y=a-x与函数y= 的图象相切时， 有唯一解，所以a=4,故当 函数y= 和y=|x-a|的图象有三个不同 的公共点时，实数a的取值范围是(4,+). 答案：(4,+),3.已知函数f(x) 的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是_. 【解析】在同一坐标系内作出直线yx与函数yx24x2的图象，因为直线yx与yf(x)有三个交点，故yx与yx24x2有两个交点与y2有一个交点，所以1m2. 答案：1m2,