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1、专题五 立 体 几 何 第一讲 空间几何体及其表面积和体积,一、主干知识 四棱柱、直四棱柱、 正四棱柱、正方体、 平行六面体、直平行 六面体、长方体之间 的关系.,二、必记公式 1.表面积公式： 表面积=侧面积+底面积，其中 (1)多面体的表面积为各个面的_. (2)圆柱的表面积公式：S=_=_(其中，r 为底面半径，l为圆柱的高). (3)圆锥的表面积公式：S=_=_(其中圆锥的 底面半径为r，母线长为l). (4)圆台的表面积公式：S= _(其中圆台 的上、下底面半径分别为r和r，母线长为l). (5)球的表面积公式：S=_(其中球的半径为R).,面积的和,2r2+2rl,2r(r+l),
2、r2+rl,r(r+l),(r2+r2+rl+rl),4R2,2.体积公式： (1)V柱=_.(2)V锥=_.(3)V球=_.,Sh,1.(2013江苏高考)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D,E,F分别 是AB,AC,AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱 A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1V2=_.,【解析】设三棱柱的底面ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则 其体积为V2=Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以ADE的 面积等于 又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F-ADE的高等于 于是三棱锥F-ADE的体积 故V1V2=124. 答案：124,2.(201
3、3南通模拟)已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为 1 cm，侧面积为3 cm2，则该棱锥的体积为_cm3. 【解析】设正六棱锥P-ABCDEF每个侧面等腰三角形的高为 h，正六棱锥的高为h， 由已知得S侧=6 1h=3, 所以h=1,又h2= +h2,得 所以VP-ABCDEF= 答案：,3.(2013苏州模拟)四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一个球面 上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD， 则该球的体积为_. 【解析】由题意知，PC是球的直径， 且 所以球的半径R=1，所以V球= 答案：,4.(2013扬州模拟)已知一个圆锥的底面圆半径为1，体积为 则该圆锥的侧面积为
4、_. 【解析】设该圆锥的高为h,母线长为l，底面圆半径为R，R=1, 则 所以 所以S侧=Rl=13=3. 答案：3,热点考向 1 计算几何体的表面积与体积 【典例1】(1)(2012江苏高考)如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm，AA1=2 cm，则四棱锥A-BB1D1D的 体积为_cm3.,(2)(2012湖北高考)某个实心零部件的形状是如图所示的几 何体，其下部是两底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的 四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重 合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2. 证明：直线B1D1平面ACC2
5、A2. 现需要对该零部件表面进行防 腐处理，已知AB=10，A1B1=20， AA2=30，AA1=13(单位：厘米)， 每平方厘米的加工处理费为0.20 元，需加工处理费多少元？,【解题探究】 (1)求四棱锥体积的关键是什么？ 提示：计算出四棱锥的高和底面积. (2)如何求组合体表面积？ 提示：结合图形分清几何体的构成，分别求出各个简单几何体 的表面积，进而求出组合体的表面积. 【解析】(1)由题意得 答案：6,(2)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2侧面是全等的矩形, 所以AA2AB, AA2AD.又ABAD=A. 所以AA2平面ABCD. 连结BD, 因为BD平面ABCD,所以AA2B
6、D. 根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面ABCD平面BB1D1D=BD, 平面BB1D1D平面A1B1C1D1= B1D1. 所以 BDB1D1,于是由AA2BD, ACBD, BDB1D1, 可得AA2B1D1,ACB1D1. 又AA2AC=A,所以直线B1D1平面ACC2A2.,由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2底面是正方形,侧面是全等的矩形. 所以 =102+41030=1 300(cm2). 又四棱台A1B1C1D1-ABCD上、下底面均是正方形，侧面是全等的 等腰梯形，所以 =(A1B1)2+4(AB+ A1B1)h2=202+2(
7、10+20) =1 120(cm2). 所以S=S1+S2=2 420(cm2). 故需加工处理费2 4200.20=484(元).,【方法总结】求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积时等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 提醒：对简单组合体表面积与体积的计算要注意所求是其构成几何体的面积、体积的和还是差.,【变式训练】(2013扬州模拟)已知圆锥的母线长为5 cm， 侧面积为
8、15 cm2，则此圆锥的体积为_ 【解析】设圆锥底面半径为R，高为h,母线长l=5, S侧=Rl=R5=15,所以R=3, 所以 答案：12 cm3,热点考向 2 多面体与球的切接问题 【典例2】(1)(2013大连模拟)已知点P，A，B，C，D是球O表 面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为 的正方形. 若PA= 则OAB的面积为_. (2)(2013开封模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的 顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个 球表面积的 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较 大者的高的比值为_,【解题探究】 (1)求OAB的面积的两个关键点: 确定球心位
9、置：点P,A,B,C,D可以视为球O的内接长方体的 顶点，则球心所在位置是: _; 确定OAB的面积的求法：OAB的面积与长方体对角面的面 积的关系是: OAB的面积是长方体对角面的面积的_. (2)求两个圆锥的高之比的两个关键： 确定球的半径与圆锥底面半径的比：球半径为r1,圆锥底面 圆的半径为r2,则r1,r2的关系为_; 用r1表示两个圆锥的高：体积较大者的高为_, 体积较小者的高为_.,长方体的体对角线的交点,【解析】(1) 由题意，PA平面ABCD，ABCD为正方形，则点 P,A,B,C,D可以视为球O的内接长方体的顶点，球心O位于该长 方体的体对角线的交点处，那么三角形OAB的面积
10、为长方体对 角面面积的四分之一. 因为 所以PB=6, 所以OAB的面积= 答案：,(2)设球心为O1,球半径为r1,圆锥底面圆圆心为O2,半径为r2,则 有 所以O1O2 = 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为 h1,h2,则 答案：,【方法总结】多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. (2)若球面上四点P
11、，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2=a2+b2+c2求解.,【变式训练】(2013三亚模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 _. 【解析】设球心为O，正三棱柱上底面为ABC，中心为O， 因为三棱柱所有棱的长都为a，则可知OO= OA= 又由球的相关性质可知，球的半径 所以球的表面积为4R2= 答案：,【典例】1.(2012新课标全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶 点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的 直径，且SC
12、=2,则此棱锥的体积为_. 2.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相 外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的 正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为_ _.,【解析】1.方法一：因为SC是球O的直径， 所以CAS=CBS=90. 因为BA=BC=AC=1,SC=2,所以AS=BS= 取AB的中点为D， 显然ABCD，ABSD，所以AB平面CDS. 在CDS中， SC=2，利用余弦定理可得 所以 所以V=VB-CDS+VA-CDS= SCDSBD+ SCDSAD = SCDSBA=,方法二：ABC的外接圆的半径 点O到
13、平面ABC的 距离 SC为球O的直径点S到平面ABC的距离为 此棱锥的体积为 答案：,2.设球O1,O2的半径分别为r1,r2， 由题意知|O1A|+|O1O2|+|O2C1|= 而|O1A|= r1，|O1O2|=r1+r2, |O2C1|= r2, 所以 所以 从而 答案：,【方法总结】利用转化与化归思想解决多面体与球的接、切问题 (1)多面体与球接、切问题，直接过球心及多面体的特殊点作截面，转化为多个多面体或平面图形的接、切问题求解. (2)多面体与球接、切问题，可转化为特殊的多面体(如长方体、正方体等)与球的接、切，再转化为平面图形的接、切问题求解.,转化与化归思想 求空间几何体的体积
14、 【思想诠释】 1.主要类型：(1)等体积转化法，如求三棱锥的体积，可转换顶点求解.(2)不规则几何体的体积的求解. 2.解题思路：常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补、转化等方法求解. 3.注意事项：(1)割、补法是把不规则几何体转化为可求体积的几何体的常用方法.(2)等体积转化法适合于三棱锥.,【典例】 (2013烟台模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E， F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_.,【审题】分析信息，形成思路 切入点：转换三棱锥的顶点,使三棱锥的高与底面积易求. 关注点：一般是把三棱锥的底面放在几何体的一个面上.,【解
15、题】规范步骤，水到渠成 ,DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半， 三棱锥 的高即为正方体的棱长， 所以 答案：,【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移 1.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于 O，剪去AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则 以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为_.,【解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为 的正 三棱锥，高为 所以该四面体的体积为 答案：,2.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为 棱AA1与CC1的中点，则四棱锥A1-EBFD1的体积为_.,【解析】因为EB=BF=FD1=D1E= 所以四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形. 连结EF，则EFBEFD1.,因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高， 所以 所以 所以 因为CC1平面ABB1A1， 所以三棱锥F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a. 又EBA1边EA1上的高为a. 所以 答案：,