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1、选修4-2 矩阵与变换,一、主干知识 1.矩阵的定义:同一横(竖)排中按原来次序排列的一行(列)数叫做矩阵的行(列),组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素,其中,一条从左上角到右下角的元素构成的对角线称为矩阵的主对角线. 特别:(1)21矩阵,22矩阵(二阶矩阵),23矩阵.,(2)零矩阵:_. (3)行矩阵: _,列矩阵: _ ,一般用 等表示.,a11,a12,2.几种常见的平面变换： (1)恒等变换矩阵(即单位矩阵)：_. (2)伸压变换矩阵：_. (3)反射变换矩阵：_.,(4)旋转变换矩阵：_. (5)投影变换矩阵：_. (6)切变变换矩阵：_.,3.逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵,如
2、果存在二阶矩阵B,使 AB=BA=E,则称二阶矩阵A是可逆矩阵,称B是二阶矩阵A的逆 矩阵,记作A-1. 4.特征值和特征向量： A= 如果存在和非零向量 满足 _，即 则叫A的一个特征值， 叫A的属于特征值的一个特征向量.,二、重要公式和法则 1.二阶行矩阵与平面向量的乘法： _ 2.二阶行矩阵的乘法: _,3二阶可逆矩阵A= (adbc0)的逆矩阵是 _. 4设A= 是一个二阶矩阵，R,则A的特征多项式为： _. 5.矩阵M的n次变换 对于二阶矩阵M，它的特征值分别为1和2，其对应的特征向 量分别为 和 (两者不共线)，则当任一向量 时， _.,1(2012江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A1
3、= 求矩阵A的特征值 【解析】因A1= 故A=(A1)1= 因矩阵A的特征多项式为f()= =234， 令f()=0，解得矩阵A的特征值1=1，2=4.,2(2012福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= (a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1. (1)求实数a，b的值. (2)求A2的逆矩阵.,【解析】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应 的变换作用下的像是P(x,y)， 由 得 因点P(x,y)在曲线x2+y2=1上， 故(ax)2+(bx+y)2=1，化简得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1，从而比较对 应项系数得： 又因为a0
4、，解之得,(2)由(1)得A= 故A2= 从而(A2)1=,热点考向 1 二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换 【典例1】(2013南京模拟)已知矩阵M 对应的变换将点A(1，1)变为A(0，2)， 将曲线C：xy1变为曲线C (1)求实数a，b的值.(2)求曲线C的方程,【解题探究】 由条件点A(1，1)变为A(0，2)，根据矩阵与平面向量的乘法 法则得关于实数a，b的方程是_，从而求解，并得到 坐标的变换公式是_，再代入曲线C的方程，即可 得到曲线C的方程.,【解析】(1)由题知， 即,(2)设P(x，y)是曲线C上任意一点，P由曲线C上的点 P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到， 所以
5、 解得 因为x0y01，所以 即曲线C的方程为,【互动探究】根据本题条件，能否判断矩阵M属于何种常见的 平面变换？从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过 何种变换，可转化成双曲线的标准形式？ 【解析】因点A(1，1)在直线y=x上，此直线与坐标轴的夹角为 45，当它变换到A(0，2)时，即变换到y轴上，故这是旋转 变换，又因OA= OA=2，故还需实施伸压变换，即本题变 换中含有两种常见的变换，即由 从本题结果观察，反比例函数 的图象，通过旋转变换(旋 转角为45)，可转化成双曲线的标准形式.,【方法总结】曲线变换问题的求解思路 有关曲线的变换问题，都是通过变换矩阵左乘列向量，得到原曲线上的
6、点坐标与新坐标之间的关系式，再用新坐标的函数式表示原坐标，而原坐标一定满足原方程，故代入原方程，即可得到新的曲线方程.,【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，直线l:x+y+2=0在矩阵 M= 对应的变换作用下得到直线m:xy4=0，求实数 a,b的值.,【解析】在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2), A,B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A,B， 因为 所以A的坐标为(2,2b)， 所以B的坐标为(-2a,-8). 由题意A,B在直线m:xy4=0上，所以 解得a=2,b=3.,热点考向 2 矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵 【典例2】(2013徐州模拟)已知a，bR
7、，若矩阵M= 所对应的变换把直线l：2xy=3变换为自身，求M1. 【解题探究】 根据矩阵M= 可得坐标变换公式是 _，再代入直线l的方程，得到关 于a,b的方程组是_，从而得到矩阵M的表达式；再由 逆矩阵计算公式求M1.,【解析】对于直线l上任意一点(x,y)，在矩阵M对应的变换作用下变换成点(x,y)， 则 因为2xy=3，所以2(x+ay)(bx+3y)=3， 所以 所以M= 所以M1=,【方法总结】利用待定系数法求变换矩阵的两种方法 (1)利用矩阵与平面向量的乘法法则，将变换前后的点(向量)的坐标一一对应，从而列得方程组而求解. (2)利用矩阵乘法法则，将两种或两种以上的变换复合成一种
8、变换矩阵，再与已知矩阵相比较对应项数值，从而列得方程组求解.,【变式训练】(2013江苏高考)已知矩阵A= B= 求矩阵A-1B.,【解析】设矩阵A的逆矩阵为 则 即 故a=-1,b=0,c=0, d= 从而A的逆矩阵为A-1= 所以A-1B=,热点考向 3 特征值与特征向量、矩阵的简单应用 【典例3】(2013南通模拟)已知矩阵M= 不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值 【解题探究】 当矩阵的行列式值为零时，矩阵不存在逆矩阵，由此得x的 值_，再由矩阵M的特征多项式_ _得此矩阵的特征值是_.,x=5,f()=,0和11,【解析】由题意，矩阵M的行列式 解得x=5，矩阵M= 的特征多项
9、式 f()= =(5)(6)(5)(6)， 令f()=0并化简得211=0， 解得=0或=11，所以矩阵M的特征值为0和11,【互动探究】试求矩阵M的特征向量. 【解析】当=0时，由 知，特征向量是(1，-1)；当=11时， 由 知，特征向量是(5，6).,【方法总结】矩阵特征值与特征向量的关注点 (1)矩阵特征值的实质是令特征多项式f()等于零时所构成方程的零点，是通过解一元二次方程得之的；特征向量是在求得特征值后，得到二元一次方程组(通常是不定方程)，取x=1或y=1或其他整数后得到. (2)矩阵特征值与特征向量可使矩阵经n次变换后的运算更为简便，结果相对准确，同时，蕴含着“有限与无限”的数学思想，确定变换后的变化趋势.,【变式训练】给定矩阵A= B= (1)求A的特征值1,2及对应的特征向量 (2)求A4B.,【解析】(1)设A的一个特征值为，由题意知： (2)(3)=0， 1=2，2=3，当1=2时，由 得A属于特征值2的特征向量 当2=3时，由 得A属于特征值3的特征向量,(2)由于B= 故,